2023年高考数学模拟试卷（一）

试卷更新日期：2022-10-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 5 x - 6 < 0}$ ， $B = {x | x > - 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $(- 6 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 6)$

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2. 已知 $z (- 1 + \sqrt{3} i) = 2$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ， $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = - x + 1$ ，则方程 $x f (x) = e l n x$ 在 $(0 ， 4)$ 上解的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a l n x + \sqrt{x + 1}$ ， $x > 0$ ，若对任意 $x \in [\frac{1}{9} ， + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{8} ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{8} ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{8}]$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 2022$ ，且 $\frac{S_{2023}}{2023} - \frac{S_{2022}}{2022} = 1$ ，则 $S_{2023} =$ （）

A、0 B、1 C、2022 D、2023

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7. 为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（）

A、 $\frac{5}{36}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{7}{36}$ D、 $\frac{7}{18}$

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8. 已知抛物线 $D ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $D$ 上，过点 $P$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $A$ ，若 $| P A | = | A F |$ ，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、多选题

9. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， O$ 为坐标原点，直线 $l ： 3 x - 2 y + m = 0$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、当 $m \neq 0$ 时，直线 $O M$ 与 $l$ 垂直 B、点 $M$ 在直线 $3 x + 2 y = 0$ 上 C、 $| O M |$ 的取值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{26}}{2})$ D、存在点 $M$ ，使得 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 2$

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10. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为6，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{5 π}{12}) = 5$ B、 $2 π$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，不等式 $c < f (x) < c + 4$ 恒成立，则实数 $c$ 的取值范围是 $[2 ， 3)$ D、将函数 $f (x)$ 的图像向左移动 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $g (x)$ 是一个偶函数

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + 2 b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $9$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $l o g_{2}^{} a + l o g_{2}^{} b$ 的最小值为 $- 3$ D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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12. 点 $M$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中侧面正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内的一个动点，正方体棱长为 $1$ ，则下面结论正确的是（）

A、满足 $M C ⊥ A D_{1}$ 的点 $M$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、点 $M$ 存在无数个位置满足直线 $B_{1} M / /$ 平面 $B C_{1} D$ C、在线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $B_{1} M$ 与 $C D$ 所成的角是 $3 0^{∘}$ D、若 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，平面 $A D_{1} E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成锐二面角的正切值为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. $(x - \frac{y^{2}}{x}) (x + y)^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为．

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，则 $f^{'} (\frac{1}{2}) + f^{'} (\frac{5}{2}) =$ ；且 $\frac{a^{2} + b + 4}{c}$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ ，则它的极小值为；若函数 $g (x) = m x$ ，对于任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且斜率为 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ 的直线与双曲线C的左支交于点A．若 $(\vec{F_{1} F_{2}} + \vec{F_{1} A}) \cdot \vec{F_{2} A} = 0$ ，则双曲线C的渐近线方程为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c o s B (\sqrt{3} a + b s i n C) + b s i n B c o s C = 0$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $2 c = a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 2$ ， ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 为等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求满足不等式 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n} < 2023$ 的最大正整数 $n$ ．

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19. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间 $[0 ， 30]$ 内，按 $[0 ， 5]$ ， $(5 ， 10]$ ， $(10 ， 15]$ ， $(15 ， 20]$ ， $(20 ， 25]$ ， $(25 ， 30]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.
附：观测值公式： $K^{2} = \frac{(a + b + c + d) {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；

(2)、将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100

(3)、调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且直线 $P A$ 的斜率与直线 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求 $| P Q |$ 的最大值及此时直线 $l$ 的斜率．

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21. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中， $E D ⊥$ 平面 $A B C D ， C F / / D E$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形. $A D = D E = 2 D C = 2 C F ， B D ⊥ C D ， H$ 为 $D E$ 的中点.

(1)、证明： $H F ⊥$ 平面 $B D E$ .

(2)、若 $P$ 是棱 $D E$ 上一点，且 $D P = \frac{1}{6} D E$ ，求二面角 $B - P F - D$ 的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} - l n x ， a > 0 ， a \neq 1$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在唯一极小值点 $x_{0}$ ，证明： $\frac{1}{a} < x_{0} < \frac{1}{l n a}$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.01	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	网购总次数	支付宝支付次数	银行卡支付次数	微信支付次数
甲	80	40	16	24
乙	90	60	18	12

	男	女	合计
网购迷		20
非网购迷	45
合计			100