陕西省西安市长安区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} = 4$ 的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 4$ D、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$

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2. 下列说法正确的是（　　）

A、对应边都成比例的多边形相似 B、对应角都相等的多边形相似 C、边数相同的正多边形相似 D、矩形都相似

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3. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，相似比为3：1，且 $△ A B C$ 的周长为18，则 $△ D E F$ 的周长为（）

A、6 B、3 C、18 D、54

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4. 一元二次方程x²﹣8x﹣2=0，配方的结果是（）

A、（x+4）²=18 B、（x+4）²=14 C、（x﹣4）²=18 D、（x﹣4）²=14

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5. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作 $E F ∥ B C$ ， $G H ∥ A B$ ，分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若 $A E = 3$ ， $P F = 8$ ．则图中阴影部分的面积为（）

A、4 B、8 C、12 D、24

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7. 如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）

A、4条 B、5条 C、6条 D、7条

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8. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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9. 如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）

A、6 B、8 C、14 D、28

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $A (1 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ， $C (- 2 ， - 1)$ ，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 2)$ C、 $(0 ， - 4)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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二、填空题

11. 若关于x的方程x²+3x+k＝0的一个根是1，则k的值为．

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12. 已知对角线长为2的正方形的面积为．

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13. 已知代数式x²-3与代数式 $- x$ 的值互为相反数，那么x的值为．

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14. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $P$ 为 $A B$ 上一点，则下列四个条件中

(1)、 $∠ A C P = ∠ B$ ；（2） $∠ A P C = ∠ A C B$ ；（3） $A C^{2} = A P \cdot A B$ ；（4） $A B \cdot C P = A P \cdot C B$ ，
其中能满足 $△ A P C$ 和 $△ A C B$ 相似的条件有．

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16. 某学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是．

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17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是

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18. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处。若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $2 x (x + 3) = 3 x + 9$ ；

(2)、 $(2 x - 1) (x + 1) = 3 x - (x + 2) (x - 2)$ ．

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20. 已知：如图ABCD中，点O是AC的中点，过点O画AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.

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21. 某服装批发商从厂家以单价40元进购一批秋衣，如果以单价50元往外批发，那么每月可批发2000件，根据销售经验，批发单价每提高1元，批发量相应减少40件．若批发商准备一月获利32000元，同时又要使顾客得到实惠，则批发单价定为多少元？

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22. 某超市准备在本周末开展优惠活动，凡购物者可以通过摸球的方式享受折扣优惠，有A、B两个不透明的纸箱，A纸箱中有分别标数字1、2、3、4的四个小球，B纸箱中有分别标数字1、3、5的三个小球，两个纸箱中小球除数字不同之外没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．本次活动共有两种方式，方式一：只从A纸箱中摸一个小球，摸到1号小球时，所购物品享受9折优惠，摸到其它小球无优惠；方式二：同时在A、B两个纸箱中各摸一个小球，若两个小球上的数字相同，所购物品享受8折优惠，其它情况无优惠．

(1)、若顾客选择方式一，求顾客享受9折优惠的概率；

(2)、若顾客选择方式二，求顾客享受8折优惠的概率（请用列表法或树状图法求解）．

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23. 如图，在矩形ABCD中，P是对角线BD上一点，过点P作 $P E ∥ D C$ 交BC于点E，作 $P F ∥ B C$ 交CD于点F．

(1)、证明：四边形PECF是矩形；

(2)、证明： $△ B P E ∽ △ P D F$ ；

(3)、已知 $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，当四边形PECF是正方形时，求此正方形的边长．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 10 c m$ ，点P从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P作 $P D ⊥ A B$ 于点D，连接PQ、QD，设点P运动的时间为ts．

(1)、求证：四边形PCQD是平行四边形；

(2)、当四边形PCQD成为菱形时，求出相应的t的值；

(3)、 $△ A P D$ 与以C、P、Q为顶点的三角形能否相似，如果能，求出相应的t的值；如果不能，请说明理由．

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