重庆110中2022-2023学年九年级上学期入学数学试卷

试卷更新日期：2022-09-27 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共12小题，共48分。）

1. 道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 不等式 $- 1 < x \leq 2$ ，在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 4 y^{2}$ B、 $x^{2} - 2 y + 1$ C、 $x^{2} - 4 y^{2}$ D、 $- x^{2} - 4 y^{2}$

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4. 当x=3时，分式 $\frac{x - b}{x + 2 b}$ 没有意义，则b的值为（）

A、-3 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ， $A B$ 垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ， $△ B D C$ 的周长为17，则 $A C$ 为（）

A、9 B、8 C、12 D、11

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6. 如图，为了测量池塘边 $A$ 、 $B$ 两地之间的距离，在线段 $A B$ 的同侧取一点 $C$ ，连结 $C A$ 并延长至点 $D$ ，连结 $C B$ 并延长至点 $E$ ，使得 $A$ 、 $B$ 分别是 $C D$ 、 $C E$ 的中点，若 $D E = 18 m$ ，则线段 $A B$ 的长度是（）

A、 $12 m$ B、 $10 m$ C、 $9 m$ D、 $8 m$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (2 ， 4)$ ，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交 $x$ 轴的正半轴于 $B$ 点，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(2 \sqrt{5} ， 0)$ B、 $(2 \sqrt{3} ， 0)$ C、 $(0 ， 2 \sqrt{5})$ D、 $(0 ， 2 \sqrt{3})$

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8. 如下图，边长为 $a$ 、 $b$ 的长方形周长为16，面积为12，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、28 B、96 C、192 D、200

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9. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 m - 1}{x - 1} - \frac{3 x}{x - 1} = 5$ 有增根，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别在 $C D$ 和 $B C$ 的延长线上， $A E / / B D$ ， $∠ E F C = 30 °$ ， $A B = 1 .$ 则 $C F$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

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11. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x - a}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{x - 2} = 1$ 的解为非负数，且关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} y + 6 \leq 2 (y + 2) \\ \frac{3 y - a}{3} < 1 \end{array}$ 有3个整数解，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为（）

A、19 B、22 C、30 D、33

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12. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = k \\ 2 x + 3 y = 3 k - 1 \end{array}$ ，以下结论正确的有个．（）
①不论 $k$ 取什么实数， $x + 3 y$ 的值始终不变；②存在实数 $k$ ，使得 $x + y = 0$ ；③当 $y - x = - 1$ 时， $k = 1$ ；④当 $k = 0$ ，方程组的解也是方程 $x - 2 y = - 3$ 的解．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 计算： $(- 3)^{0} + (\frac{1}{2})^{- 2}$ 的结果是．

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14. 如图，已知函数 $y = a x + b$ 的图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(3 ， 0)$ ，则根据图象可得不等式 $a x + b > 0$ 的解集是．

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = \sqrt{2}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针反向旋转 $60 °$ 到 $△ A B' C'$ 的位置，连接 $C' B$ ，则 $C' B$ 的长为．

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16. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克 $A$ 粗粮，1千克 $B$ 粗粮，1千克 $C$ 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克 $A$ 粗粮，2千克 $B$ 粗粮，2千克 $C$ 粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种粗粮的成本价之和．已知 $A$ 粗粮每千克成本价为 $6$ 元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是.（商品的利润率 $= \frac{商品的售价 - 商品的成本价}{商品的成本价} \times 100 %$ ）

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三、解答题（本大题共9小题，共86分。）

17. 计算或化简：

(1)、 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})$ ；

(2)、 $(1 - \frac{1}{x - 3}) \div \frac{x^{2} - 16}{6 x - 2 x^{2}}$ ．

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18. 解不等式组或方程：

(1)、 ${\begin{array}{l} - 2 x + 5 \leq 3 \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{x}{3} \end{array}$ ；

(2)、 $\frac{3 - x}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} + 3$ ．

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19. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A B < A D$ ．

(1)、用尺规完成以下基本作图：在 $A D$ 上截取 $A E$ ，使 $A E = A B$ ；作 $∠ B C D$ 的平分线交 $A D$ 于点 $F .$ (保留作图痕迹，不写作法).

(2)、在（1）所作的图形中，连接 $B E$ 交 $C F$ 于点 $G$ ，证明： $A F = D E$ ．

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20. 有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了100个鸡腿，然后再从中随机各抽取20个，这些鸡腿的质量记为x(单位：克），将所得的数据分为5组(A组：

x \geq 80

，

B

组，

75 \leq x < 80

，

C

组：

70 \leq x < 75

，

D

组：

65 \leq x < 70

，

E

组：

0 < x < 65

)，学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：

$a .$ 甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）：

$b .$ 乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）：

$c .$ 甲公司被抽取的鸡腿质量在 $75 \leq x < 80$ 这一组的数据是：75，76，78，76，77，78，79．

$d .$ 乙公司被抽取的鸡腿质量在 $75 \leq x < 80$ 这一组的数据是：75，78，75，75，75，77，76，75．

$e .$ 甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下：

公司	甲公司	乙公司
平均数	73	73
中位数	n	75
众数	74	$k$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出上述表中

m =

，

n =

，

k =

；

(2)、根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量；

(3)、根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由(写出一条理由即可)．

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21. “数形结合百般好” $.$ 在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图 $1$ 所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
请结合以上知识，解答下列问题：

(1)、写出图2所示的长方形所表示的数学等式；

(2)、根据图3得到的结论，解决下列问题：
若 $a + b + c = 8$ ， $a b + a c + b c = 19$ ，求代数式 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；

(3)、小明同学用图4中 $x$ 张边长为 $a$ 的正方形纸片， $y$ 张边长为 $b$ 的正方形纸片， $z$ 张边长分别为 $a$ ， $b$ 的长方形纸片拼出一个面积为 $(2 a + 3 b) (6 a + 5 b)$ 的长方形，求代数式 $x + y + z$ 的值．

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22. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．

(1)、求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？

(2)、计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？

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23. 如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为“等十数”，并把数 $M$ 分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为“巧拆分”．
例如： $∵ 616 = 28 \times 22$ ， 28和22的十位数字相同，个位数字之和为10， $∴ 616$ 是“等十数”．
又如： $∵ 272 = 17 \times 16$ ， $17$ 和 $16$ 的十位数字相同，但个位数字之和不等于10， $∴ 272$ 不是“等十数”．

(1)、判断195，624是否是“等十数”？并说明理由；

(2)、把一个四位“等十数” $M$ 进行“巧拆分”，即 $M = A \times B$ ， $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位之和的和记为 $E (M)$ ， $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位之和的差的绝对值记为 $F (M)$ 令 $G (M) = \frac{E (M)}{F (M)}$ ，当 $G (M)$ 能被5整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

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24. 如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B (2 ， 4)$ ， $B C / / x$ 轴交 $y$ 轴于点 $C$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、如图2，点 $E$ 是 $y$ 轴上一动点，点 $F$ 为平面内一点，且 $E F$ 为▱ $A F B E$ 的对角线，当 $E F$ 最小时，请直接写出点 $E$ 的坐标，并在 $x$ 轴上找一点 $M$ 使 $| B M - E M |$ 最大，求出此时点 $M$ 的坐标；

(3)、如图3，点 $E$ 仍是 $y$ 轴上一动点，是否存在点 $E$ 使 $△ A B E$ 为等腰三角形，请直接写出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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25. 如图1，▱ $A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于 $E$ 点， $A E = C E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ C D$ 交 $A E$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $A B = 13$ ， $B E = 5$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、如图2，连接 $D F$ ，点 $N$ 为线段 $D F$ 上一动点，连接 $C N$ ，将线段 $C N$ 绕点 $N$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $N M$ ，连接 $D M$ ，求证： $A B = D M + \sqrt{2} F N$ ；

(3)、在（1）（2）的条件下， $N$ 点为直线 $D F$ 上一点，连接 $A M$ ，请直接写出 $A M$ 的最小值．

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