浙江省舟山一中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2022-09-27 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分。）

1. 已知 $a$ 满足 $| 2021 - a | + \sqrt{a - 2022} = a$ ，则 $a - 2021^{2} = （）$

A、0 B、1 C、2021 D、2022

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2. 一元二次方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、无实数根 B、有两不等实数根 C、有两相等实数根 D、有一个实数根

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3. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为 $100$ ，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%若小强的三项成绩 $($ 百分制 $)$ 依次是95，90，91则小强这学期的体育成绩是（）

A、92 B、91.5 C、91 D、90

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4. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，延长 $C B$ 至点 $E$ ，使 $B E = B C$ ，连接 $D E$ ， $F$ 为 $D E$ 中点，连接 $B F .$ 若 $A C = 16$ ， $B C = 12$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、5 B、4 C、6 D、8

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6. 如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为边 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 的中点，分别联结 $D E$ 、 $E F$ 、 $D F$ 、 $A E$ ，点 $O$ 是 $A E$ 与 $D F$ 的交点，下列结论中，正确的个数是（）
$① △ D E F$ 的周长是 $△ A B C$ 周长的一半； $② A E$ 与 $D F$ 互相平分；③如果 $∠ B A C = 90 °$ ，那么点 $O$ 到四边形 $A D E F$ 四个顶点的距离相等；④如果 $A B = A C$ ，那么点 $O$ 到四边形 $A D E F$ 四条边的距离相等．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $A D = 10 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $D$ 出发，以 $1 c m / s$ 的速度向点 $A$ 运动，点 $M$ 从点 $B$ 同时出发，以相同的速度向点 $C$ 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t ($ 单位： $s)$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $t = 4 s$ 时，四边形 $A B M P$ 为矩形 B、当 $t = 5 s$ 时，四边形 $C D P M$ 为平行四边形 C、当 $C D = P M$ 时， $t = 4 s$ D、当 $C D = P M$ 时， $t = 4 s$ 或 $6 s$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，▱ $O A B C$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 上，顶点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 上，点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上，则▱ $O A B C$ 的面积是（）

A、5 B、4 C、2 D、不确定

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴正半轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，且 $O A = O C$ ，则下列结论：
$① a b c > 0$ ； $② 9 a + 3 b + c < 0$ ； $③ c > - 1$ ；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有一个根为 $- \frac{1}{a}$

其中正确的结论个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 函数 $y = \frac{\sqrt{x}}{x - 2}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

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12. 已知， $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 的两实数根，则代数式 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 =$ ．

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13. 一组数据18，22，15，13，x，7，它的中位数是16，则x的值是．

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14. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $F$ 、 $G$ 分别是 $A D$ 、 $A E$ 的中点，且 $F G = 2 c m$ ，则 $B C$ 的长度是 $c m$ ．

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15. 如图，正方形 $A B C D$ ， $E$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $D F ⊥ B D$ ，且 $D F = B E$ ，连接 $C E$ ， $C F$ ， $E F$ ，若 $A B = 2$ ，则 $E F$ 长度的最小值为．

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16. 如图(1)，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，边 $A B$ 上的点 $D$ 从点 $A$ 出发，向点 $B$ 运动，同时，边 $B C$ 上的点 $E$ 从点 $B$ 出发，向点 $C$ 运动， $D$ ， $E$ 两点运动速度的大小相等，设 $x = A D$ ， $y = A E + C D$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图（2），图象过点 $(0 ， 2)$ ，则图象最低点的横坐标是．

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三、解答题（本大题共8小题，共66分。）

17.

(1)、计算： $2 \sqrt{12} + 3 \sqrt{1 \frac{1}{3}} - \sqrt{2} \times \sqrt{6}$ ；

(2)、解方程： $2 x (x + 3) = x + 3$ ．

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18. 某中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“防疫宣传”演讲比赛，其预赛成绩 $($ 单位：分 $)$ 如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求出表中的 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ；

平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
$b$
8.5
$d$
乙班
$a$
8
$c$
1.6

(2)、请你任选一组统计量描述两个班的成绩水平？

(3)、乙班小明说：“我的成绩在我们班是中等水平”，你知道他是几号选手吗？

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19. 已知：如图，在▱ $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 为对角线 $B D$ 上的两点， $B E = D F$ ．

(1)、求证： $△ A E D$ ≌ $△ C F B$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 75 °$ ， $A E = B E = 3$ ， $C D = 3 \sqrt{2}$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的周长．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 5 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 2)$ ， $C (- 1 ， 4)$ ，请按下列要求画图：
⑴将 $△ A B C$ 先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵ $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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21. 如图，在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 9$ ，折叠纸片 $A B C D$ ，使顶点 $C$ 落在边 $A D$ 的点 $G$ 处，折痕分别交边 $A D$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求证： $△ G E F$ 是等腰三角形；

(2)、求 $△ G E F$ 面积的最大值．

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22. 在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．

(1)、求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；

(2)、在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？

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23. 如图，在平面直角坐标系中，过点 $A (0 ， 4)$ 、 $B (5 ， 9)$ 两点的抛物线的顶点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点 $C$ 的坐标；

(3)、 $P (x ， y)$ 为线段 $A B$ 上一点， $1 \leq x \leq 4$ ，作 $P M / / y$ 轴交抛物线于点 $M$ ，求 $P M$ 的最大值与最小值．

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24. 在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，并与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第一象限相交于点 $C$ ，且点 $B$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、如图1，求反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的解析式；

(2)、如图2，若矩形 $F E H G$ 的顶点 $E$ 在直线 $A B$ 上，顶点 $F$ 在点 $C$ 右侧的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上，顶点 $H$ ， $G$ 在 $x$ 轴上，且 $E F = 4$ ．
①求点 $F$ 的坐标；
②若点 $M$ 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点 $F$ 的左侧，连结 $M G$ ，并在 $M G$ 左侧作正方形 $G M N P .$ 当顶点 $N$ 或顶点 $P$ 恰好落在直线 $A B$ 上，直接写出对应的点 $M$ 的横坐标．

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	平均数	中位数	众数	方差
甲班	8.5	$b$	8.5	$d$
乙班	$a$	8	$c$	1.6