甘肃省定西市岷县2022-2023学年七年级上学期开学数学试卷（一）

试卷更新日期：2022-09-27 类型：开学考试

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一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各数： $\frac{1}{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， $3.14159$ ， $- π$ ， $\sqrt[3]{8}$ ，其中无理数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 在平面直角坐标系中，已知点 $P (- 2 ， 3)$ ，则点 $P$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图，下列判断中正确的是（）

A、如果 $∠ 3 + ∠ 2 = 180 °$ ，那么 $A B / / C D$ B、如果 $∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ ，那么 $A B / / C D$ C、如果 $∠ 2 = ∠ 4$ ，那么 $A B / / C D$ D、如果 $∠ 1 = ∠ 5$ ，那么 $A B / / C D$

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4. 已知 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 和 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 0 \end{array}$ 是方程 $a x - b y = 1$ 的解，则 $a$ ， $b$ 的值为（）

A、 $a = - 1$ ， $b = - 1$ B、 $a = - 1$ ， $b = 1$ C、 $a = 0$ ， $b = - 1$ D、 $a = - 1$ ， $b = 0$

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5. 方程组 ${\begin{matrix} x + y = 10 \\ 2 x + y = 16 \end{matrix}$ 的解是（）

A、 ${\begin{matrix} x = 6 \\ y = 4 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = 6 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 6 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 8 \end{matrix}$

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6. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）

A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查 D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查

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7. 已知不等式 $\frac{2 - x}{2} \leq \frac{2 x - 4}{3} < \frac{x - 1}{2}$ ，其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 4 m + 5 \\ x - y = m - 1 \end{array}$ 的解满足 $2 x + 3 y > 7$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < - \frac{1}{4}$ B、 $m < 0$ C、 $m > \frac{1}{3}$ D、 $m > 7$

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9. 为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了 $1 m i n$ 仰卧起坐次数，并绘制如图所示的频数分布直方图，请根据图中的信息，计算仰卧起坐次数在 $25$ ∽ $30$ 次的百分比是（）

A、40% B、30% C、20% D、10%

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10. 小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．“结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为 $2 m m$ 的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为（）

A、 $10 m m$ ， $18 m m$ B、 $18 m m$ ， $10 m m$ C、 $10 m m$ ， $6 m m$ D、 $6 m m$ ， $10 m m$

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二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 60 °$ ， $∠ A O D$ 的度数为．

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12. 计算： $\sqrt{25} + \sqrt[3]{- 8} =$ ．

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13. 点 $M (2 ， - 1)$ 向上平移3个单位长度得到的点的坐标是．

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14. 对于实数 $a$ ， $b$ ，定义运算“ $◆$ ”： $a ◆ b = {\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + b^{2}} ， a \geq b \\ a b ， a < b \end{array}$ ，例如 $4 ◆ 3$ ，因为 $4 > 3$ ，所以 $4 ◆ 3 = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 .$ 若 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 4 x - y = 8 \\ x + 2 y = 29 \end{array}$ ，则 $x ◆ y =$ ．

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15. 小明做作业时，不小心将方程 $\frac{x - 2}{2} - 1 = \frac{4 x}{3} + ●$ 中的一个常数污染了看不清楚，小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，该方程的解是．

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16. 如图是根据某校为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生有600人，请根据统计图计算该校共捐款元．

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三、解答题（本题共9小题，共72分）

17. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 \\ 5 x - 6 y = 33 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 (x + y) - 4 (x - y) = 4 \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1 \end{array}$

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18. 解下列不等式 $($ 组 $)$ ，并把它们的解集在数轴上表示出来：

(1)、 $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{3 x - 1}{2} \geq 1$

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 < 3 (x + 1) \\ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{x}{3} \end{array}$

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19. 如图1，将三角形 $A B D$ 平移，使 $D$ 沿 $B D$ 的延长线移至 $C$ 得到三角形 $A' B' D'$ ， $A' B'$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

(1)、猜想 $∠ B' E C$ 与 $∠ A'$ 之间的关系，并写出理由；

(2)、将三角形 $A B D$ 平移至如图 $2$ 所示位置，得到三角形 $A' B' D'$ ，请问： $A' D'$ 平分 $∠ B' A' C$ 吗？为什么？

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20. 如图，在长方形 $A O C B$ 中， $O$ 为平面直角坐标系的原点，点 $A$ 、 $C$ 的坐标分别为 $A (3 ， 0)$ 、 $C (0 ， 2)$ ，点 $B$ 在第一象限．

(1)、写出点 $B$ 的坐标；

(2)、若过点 $C$ 的直线交长方形的边于点 $D$ ，且把长方形 $O A B C$ 的周长分成2：3的两部分，求点 $D$ 的坐标．

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21. 一个被墨水污染了的方程组： ${\begin{array}{l} * x + * y = 2 \\ * x - 7 y = 8 \end{array}$ ，小明回忆道：“这个方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ ，而我求的解是 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，经检验后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的系数所致”根据小明的回忆，你能求出原方程组吗？

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22. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x + 3 y = 4$ ．

(1)、用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ；

(2)、若实数 $y$ 满足 $y \geq 2$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、实数 $x$ ， $y$ 满足 $x - y = m$ ，且 $x > 2$ ， $y \geq - \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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23. 随着人们生活水平的不断提高，人们对生活饮用水质量要求也越来越高，更多的居民选择购买家用净水器．一商家抓住商机，从生产厂家购进了 $A$ ， $B$ 两种型号家用净水器．已知购进2台 $A$ 型号家用净水器比1台 $B$ 型号家用净水器多用200元；购进3台 $A$ 型号净水器和2台 $B$ 型号家用净水器共用6600元，

(1)、求 $A$ ， $B$ 两种型号家用净水器每台进价各为多少元？

(2)、该商家用不超过26400元共购进 $A$ ， $B$ 两种型号家用净水器20台，再将购进的两种型号家用净水器分别加价50%后出售，若两种型号家用净水器全部售出后毛利润不低于12000元，求商家购进 $A$ ， $B$ 两种型号家用净水器各多少台？ $($ 注：毛利润 $=$ 售价 $-$ 进价 $)$

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24. 为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下 $($ 成绩得分均为整数 $)$ ：
组别
成绩分组
频数
百分比
1
$47.5 ～ 59.5$
2
5%
2
$59.5 ～ 71.5$
4
10%
3
$71.5 ～ 83.5$
$a$
20%
4
$83.5 ～ 95.5$
10
25%
5
$95.5 ～ 107.5$
$b$
$c$
6
$107.5 ～ 120$
$6$
15%
合计
40
100%
根据表中提供的信息解答下列问题：

(1)、频数分布表中的 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知全区八年级共有200个班 $($ 平均每班40人 $)$ ，用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为人，及格的百分比约为；

(3)、补充完整频数分布直方图．

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25. P是三角形 $A B C$ 内一点，射线 $P D / / A C$ ，射线 $P E / / A B$ ．

(1)、当点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上时，
①补全图1；
②猜想 $∠ D P E$ 与 $∠ A$ 的数量关系，并证明；

(2)、当点 $D$ ， $E$ 都在线段 $B C$ 上时，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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组别	成绩分组	频数	百分比
1	$47.5 ～ 59.5$	2	5%
2	$59.5 ～ 71.5$	4	10%
3	$71.5 ～ 83.5$	$a$	20%
4	$83.5 ～ 95.5$	10	25%
5	$95.5 ～ 107.5$	$b$	$c$
6	$107.5 ～ 120$	$6$	15%
合计		40	100%