福建省福州四十中2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷

试卷更新日期：2022-09-27 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分。）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{18}$

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2. 如图，以 $R t △ A B C$ 的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 7$ ， $S_{2} = 18$ ，则斜边 $A B$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、25

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3. 能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B / / C D$ ， $A D = B C$ B、 $A B / / C D$ ， $∠ B = ∠ D$ C、 $∠ A = ∠ B$ ， $∠ C = ∠ D$ D、 $A B = A D$ ， $C B = C D$

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4. 若一次函数 $y = (k - 3) x - k$ 的图象经过第二、三、四象限，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 3$ B、 $k < 0$ C、 $k > 3$ D、 $0 < k < 3$

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5. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛 $.$ 某参赛小组 $6$ 名同学的成绩 $($ 单位：分 $)$ 分别为：85，82，86，82，83，92关于这组数据，下列说法错误的是（）

A、众数是82 B、中位数是84 C、方差是84 D、平均数是85

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6. 若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = m x + n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = m x + n$ 的图象的交点坐标为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(1 ， 3)$

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7. 已知两组数据：x₁、x₂、x₃、x₄、x₅和x₁+2、x₂+2、x₃+2、x₄+2、x₅+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（　　）

A、平均数相等 B、中位数相等 C、众数相等 D、方差相等

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8. 方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、有一个实数根

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9. 矩形 $A B C D$ 与矩形 $C E F G$ 如图放置，点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 共线，点 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 共线，连接 $A F$ ，取 $A F$ 的中点 $H$ ，连接 $G H .$ 若 $B C = E F = 3$ ， $C D = C E = 1$ ，则 $G H =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，利用尺规在 $B C$ ， $B A$ 上分别截取 $B E$ ， $B D$ ，使 $B E = B D$ ；分别以 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点 $F$ ；作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G .$ 若 $△ B C G$ 的面积为 $4$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 上一动点，则 $G P$ 的最小值为（）

A、无法确定 B、4 C、3 D、2

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二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算： $5 \sqrt{2} - \sqrt{8}$ = ．

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12. 已知一组数据分别为：93，93，88，81，94，91，则这组数据的方差为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ 、 $H$ 为边 $A D$ 的中点，菱形的周长为48，则 $O H$ 的长是．

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14. 将 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 配方成 $(x + m)^{2} = n$ 的形式，则 $n =$ ．

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15. 如图所示， $△ A B C$ 中， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ， $C F$ 平分补角 $∠ A C D .$ 若 $E F / / B C$ 交 $A C$ 于 $M$ ， $C E = 8 c m$ ， $C F = 6 c m$ ，则 $E M$ 的长为 $c m$ ．

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16. 如图所示，一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = c x + d$ 的图象如图所示，下列说法： $①$ 对于函数 $y = - a x + b$ 来说， $y$ 随 $x$ 的增大而增大； $②$ 函数 $y = a x + d$ 不经过第四象限； $③$ 不等式 $a x - d \geq c x - b$ 的解集是 $x \geq 4$ ； $④ 4 (a - c) = d - b .$ 其中正确的是．

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三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | - (\sqrt{3})^{0} + \frac{4}{\sqrt{3} - 1} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{- 1}$ ．

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18. 解方程： $3 x^{2} - 6 x - 2 = 0$ .

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19. 如图， $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 上一点， $∠ B = ∠ D E F$ ．

(1)、求证：四边形 $B D E F$ 是平行四边形；

(2)、直接写出当 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $B D E F$ 是菱形．

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20. 某校准备防疫物资时需购买 $A$ 、 $B$ 两种抑菌免洗洗手液，若购买 $A$ 种免洗液2瓶和 $B$ 种免洗液3瓶，共需90元；若购买 $A$ 种免洗液3瓶和 $B$ 种免洗液 $5$ 瓶，共需145元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两种免洗液每瓶各是多少元？

(2)、学校计划购买 $A$ 、 $B$ 两种免洗液共1000瓶，购买费用不超过17000元，且 $A$ 种免洗液的数量不大于620瓶．设购买 $A$ 种免洗液 $m$ 瓶，购买费用为 $w$ 元，求出 $w ($ 元 $)$ 与 $m ($ 瓶 $)$ 之间的函数关系式，求出自变量 $m$ 的取值范围，并确定最少费用 $w$ 的值．

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21. 为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段 $(A$ ：30分； $B$ ： $29 - 25$ 分； $C$ ： $24 - 20$ 分； $D$ ： $19 - 10$ 分； $E$ ： $9 - 0$ 分 $)$ 统计如下：
学业考试体育成绩 $($ 分数段 $)$ 统计表
分数段
人数 $($ 人 $)$
频率
$A$
48
0.2
$B$
$a$
0.25
$C$
84
0.35
$D$
36
$b$
$E$
12
0.05
根据上面提供的信息，回答下列问题：

(1)、在统计表中， $a$ 的值为 ▲ ， $b$ 的值为 ▲ ，并将统计图补充整．

(2)、甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ $($ 填相应分数段的字母 $)$

(3)、如果把成绩在25分以上 $($ 含25分 $)$ 定位优秀，那么该市今年10440名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为6，菱形 $E F G H$ 的三个顶点 $E$ 、 $G$ 、 $H$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上，连接 $C F$ ．

(1)、求证： $∠ H E A = ∠ C G F$ ；

(2)、当 $A H = D G = 2$ 时，求证：菱形 $E F G H$ 为正方形；

(3)、设 $A H = 2$ ， $D G = x$ ， $△ F C G$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并直接写出 $x$ 的取值范围；

(4)、求 $y$ 的最小值．

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学业考试体育成绩 $($ 分数段 $)$ 统计表
分数段	人数 $($ 人 $)$	频率
$A$	48	0.2
$B$	$a$	0.25
$C$	84	0.35
$D$	36	$b$
$E$	12	0.05