四川省绵阳市三台县2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ．现将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x²﹣x+a²﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）

A、1或﹣1 B、﹣1 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 将抛物线y=﹣2（x+3）²+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得到的抛物线的解析式为（）

A、y=2（x+1）² B、y=﹣2（x+5）²+2 C、y=﹣2（x+5）²+3 D、y=﹣2（x﹣5）²﹣1

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5. 已知关于 $x$ 的方程 ${kx}^{2} + (1 - k) x - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $k = 0$ 时，方程无解 B、当 $k = 1$ 时，方程有一个实数解 C、当 $k = - 1$ 时，方程有两个相等的实数解 D、当 $k \neq 0$ 时，方程总有两个不相等的实数解

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6. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ，方程应变形为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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7. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， $A B = 16$ 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）

A、1.0厘米/分 B、0.8厘米/分 C、1.2厘米/分 D、1.4厘米/分

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8. 宾馆有 $50$ 间房供游客居住，当每间房每天定价为 $180$ 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 $10$ 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 $20$ 元的费用．设房价定为 $x$ 元，宾馆当天利润为 $8640$ 元．则可列方程（）

A、 $(180 + x - 20) (50 - \frac{x}{10}) = 8640$ B、 $(x + 180) (50 - \frac{x}{10}) - 50 \times 20 = 8640$ C、 $x (50 - \frac{x - 180}{10}) - 50 \times 20 = 8640$ D、 $(x - 20) (50 - \frac{x - 180}{10}) = 8640$

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9. 已知一次函数y= $\frac{b}{a}$ x+c的图象如图，则二次函数y=ax²+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将 $△$ APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $△$ AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）

A、2 $\sqrt{19}$ B、8 C、5 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{2}$

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11. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）

A、18m² B、 $18 \sqrt{3}$ m² C、 $24 \sqrt{3}$ m² D、 $\frac{45 \sqrt{3}}{2}$ m²

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，下列结论：
① $4 a + b = 0$ ；
② $9 a + c > 3 b$ ；
③ $8 a + 7 b + 2 c > 0$ ；
④若点 $A (- 3 ， y_{1})$ 、点 $B (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 、点 $C (\frac{7}{2} ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ；
⑤若方程 $a (x + 1) (x - 5) = - 3$ 的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 < 5 < x_{2}$ ；
其中正确的结论是（）

A、①③⑤ B、①④⑤ C、①②④ D、①⑤

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二、填空题

13. 方程 ${(x - 5)}^{2} = 2 (5 - x)$ 的解是．

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14. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，则 $k =$ .

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15. 如图， $⊙ O$ 的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且 $C E = O B$ ，已知 $∠ D O B = 72 °$ ，则 $∠ E$ 等于．

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16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为.

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17. 已知函数y $= {\begin{array}{l} 12 （ 1 \leq x ＜ 3 ） \\ （ x - 5 ）^{2} + 8 （ 3 \leq x \leq 8 ） \end{array}$ 的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为．

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18. 如图，已知直线y= $\frac{1}{2}$ x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.

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三、解答题

19.

(1)、解方程： $(x - 5) (x + 2) = 8$ ．

(2)、先化简，再求值： $(x + 1 - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ ，其中x满足方程： $x^{2} + x - 6 = 0$ ．

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20. 已知关于x的两个一元二次方程：
方程①： $(1 + \frac{k}{2}) x^{2} + (k + 2) x - 1 = 0$ ；
方程②： $x^{2} + (2 k + 1) x - 2 k - 3 = 0$ ．

(1)、若方程①有两个相等的实数根，求k的值．

(2)、若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．

(3)、在（2）中若一定有实数根的那个方程的两根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且两根的平方和为3（即 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 3$ ）中，求k的值．

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21. 如图①是一条抛物线形状的拱桥，水面宽AB为6米，拱顶C离水面的距离为4米．

(1)、建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式；

(2)、一艘货船的截面如图②所示，它是由一个正方形MNEF和一个梯形KLGH组成的轴对称图形，货船的宽度KH为5米，货物高度MN为3米．若船弦离水面的安全距离为0.25米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由．

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22. 如图，在半径为2的扇形OAB中， $∠ A O B = 90 °$ ，点C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点（不与点A，B重合）， $O D ⊥ B C$ ， $O E ⊥ A C$ ，垂足分别为D，E．

(1)、当 $B C = 2$ 时，求线段OD的长；

(2)、在 $△ D O E$ 中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

(3)、在 $△ D O E$ 中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．

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23. 在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= $\frac{1}{2}$ ∠ABC．

(1)、如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按逆时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；

(2)、如图2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的长．

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24. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：

时间x（天）

1≤x＜50

50≤x≤90

售价（元/件）

x＋40

90

每天销量（件）

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC， $O A = 1$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，点D为此抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求 $△ B C E$ 面积的最大值；

(3)、点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

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时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x＋40	90
每天销量（件）	200－2x