四川省绵阳市江油市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 关于x的一元二次方程x²﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 7$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 7$

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4. 某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）

A、 $173 {(1 + x %)}^{2} = 127$ B、 $173 (1 - 2 x %) = 127$ C、 $173 {(1 - x %)}^{2} = 127$ D、 $127 {(1 + x %)}^{2} = 173$

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5. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m² ．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）.

A、（32﹣2x）（20﹣x）=570 B、32x+2×20x=32×20﹣570 C、（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D、32x+2×20x﹣2x²=570

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6. 学校早上8：20上第一节课，40分钟后下课，这节课中分针转动的角度为（）

A、180° B、240° C、270° D、200°

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7. 把抛物线 $y = 3 x^{2}$ 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，再绕原点旋转180°所得的抛物线的解析式是（）

A、 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 1$ B、 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 1$ C、 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} + 1$ D、 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} - 1$

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8. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 的一部分（如图），其中出球点B离地面0点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m，那么羽毛球到达最高点时离地面（）

A、 $\frac{25}{4}$ 米 B、 $\frac{25}{16}$ 米 C、 $\frac{9}{4}$ 米 D、 $\frac{3}{2}$ 米

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9. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ ，具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 $F (0 ， 2)$ 的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为 $(\sqrt{3} ， 3)$ ， P是抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + 1$ 上一个动点，则当 $△ P M F$ 的周长最小时 $S_{△ M P F}$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{8} \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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10. 抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + 3 - t = 0$ （ $t$ 为实数）在 $- 1 < x < 4$ 的范围内有实数根，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq t < 11$ B、 $t \geq 2$ C、 $6 < t < 11$ D、 $2 \leq t < 6$

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11. 如图，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝ $\sqrt{2}$ ，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为（）

A、2－ $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、1

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12. 如图，抛物线 $y_{1} = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 1$ 与 $y_{2} = a {(x - 4)}^{2} - 3$ 交于点 $A (1 ， 3)$ ，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：① $a = \frac{2}{3}$ ；② $△ A C E$ 是等边三角形；③ $A D ∥ C E$ ；④当 $x < 1$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 在直角坐标系中，点 $A (1 ， - 2)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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14. 已知方程x²﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为．

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15. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．

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16. 一个凸多边形共有20条对角线，那么它是边形．

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17. 如图，正方形ABCD的边长为 $\sqrt{3}$ ，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ 位置， $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 与CD相交于P，则直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的解析式为．

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18. 如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且 $A C^{2} = B C \cdot A B$ ， $A D^{2} = C D \cdot A C$ ， $A E^{2} = D E \cdot A D$ ，则AE的长为．

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三、解答题

19.

(1)、解方程： $x^{2} + 5 x + 4 = 0$ ．

(2)、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．
①画出 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转90°后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

②写出图中点 $A_{1}$ 和点 $C_{1}$ 的坐标．

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20. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两实数根．

(1)、求 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值．

(2)、求 $2 {x_{1}}^{2} + 6 x_{2} - 2021$ 的值．

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21. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴的两交点的坐标是 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，与y轴的交点的坐标是 $C (0 ， - 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式．

(2)、在平面直角坐标系内画出 $y = a x^{2} + b x + c$ 的大致图象，根据图象指出：当 $- 3 < x < 1$ 时，y的取值范围．

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22. 某商场销售某种品牌的手机，每部进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8部：而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4部．

(1)、若设每部手机降低x元，每天的销售利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式．

(2)、商场要想获得最大利润，每部手机的售价应订为多少元？此时的最大利润是多少元？

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23. 如图1，将两块全等的直角三角形纸片 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 叠放在一起，其中 $∠ A C B = ∠ E = 90 °$ ， $B C = D E = 6$ ， $A C = F E = 8$ ，顶点D与边AB的中点重合．

(1)、若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（ $△ D C G$ ）的面积：

(2)、合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将 $△ D E F$ 绕点D旋转，使 $D E ⊥ A B$ 交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长．

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24. 抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、是否存在这样的P点，使 $△ P O B$ 为等腰三角形，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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