四川省乐山市市中区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$

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2. 若代数式 $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \geq 1$ D、 $x < 1$

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3. 若3a-2b=0，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{3}$

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4. 已知一元二次方程 $x^{2} + k x + 3 = 0$ 有一个根为3，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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5. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（）

A、 $32 \times 12 - 32 x - 12 x = 300$ B、 $(32 - x) (12 - x) + x^{2} = 300$ C、 $(32 - x) (12 - x) = 300$ D、 $2 (32 - x + 12 - x) = 300$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 36 °$ ， $A D$ 、 $A E$ 三等分 $∠ B A C$ ， D、E在 $B C$ 边上，则其中的相似三角形有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、6对

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7. 如图，在 $△ A P M$ 的边 $A P$ 上任取两点B，C，过B作 $A M$ 的平行线交 $P M$ 于N，过N作 $M C$ 的平行线交 $A P$ 于D．若 $\frac{P A}{P B} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{P C}{P D}$ 的值为（）．

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、3

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8. 如图所示，直线y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣1与x轴交于A，与y 轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 小刚在解关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 时，只抄对了 $a = 2$ ， $c = 1$ ，解出其中一个根是 $x = 1$ ．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1，则原方程的根的情况是（）

A、不存在实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有另一个根是 $x = - 1$ D、有两个相等的实数根

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10. 如图，在 $△ A C D$ 中， $A D = 6$ ， $B C = 5$ ， $A C^{2} = A B (A B + B C)$ ，且 $△ D A B ∼ △ D C A$ ，若 $A D = 3 A P$ ，点 $Q$ 是线段 $A B$ 上的动点，则 $P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{8}{5}$

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二、填空题

11. 化简： $\sqrt{8}$ =

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12. 已知a，b都是实数， $b = \sqrt{1 - 2 a} + \sqrt{6 a - 3} - 3$ ，则代数式 $a + b$ 的值为．

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13. 已知x²+6x=﹣1可以配成（x+p）²=q的形式，则q=.

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14. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似， $A B = 4$ ，则矩形ABCD的面积为．

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15. 已知α，β是方程x²﹣4x﹣5＝0的两个实数根，则α²﹣2αβ﹣4α的值为.

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16. 如图， $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = a$ ，在 $△ A B C$ 中截出一个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，使点 $A_{1}$ ， $D_{1}$ 分别在AC，BC边上，边 $B_{1} ， C_{1}$ 在AB边上；在 $△ B C_{1} D_{1}$ 在截出第二个正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ，使点 $A_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在 $B C_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 边上，边 $B_{2} C_{2}$ 在 $B D_{1}$ 边上； $\cdot \cdot \cdot$ ，依此方法作下去，则：

(1)、正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为；

(2)、第n个正方形的边长为．

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三、解答题

17. 解下列方程：

(1)、 ${(x + 2)}^{2} - 1 = 0$ ；

(2)、 $2 (x - 3) = 3 x (x - 3)$ ．

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18. 计算： $\frac{1}{1 - \sqrt{2}} + {(2 - \sqrt{3})}^{0} - 2^{- 1} + | \frac{1}{3} - \sqrt{2} |$ ．

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19. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ A D E$ ，求证： $△ A B D ∽ △ A C E$ ．

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20. 已知一本数学书长为 $26 c m$ ，宽为 $18.5 c m$ ，厚为 $1 c m$ ．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为 $1408 c m^{2}$ ，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长．

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21. 已知 $a = 2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $a^{2} - 4 a + 4$ 的值；

(2)、化简并求值： $\frac{a^{2} - 1}{a + 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}}{a^{2} - a}$ ．

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22. 如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．

(1)、求证：AG＝CG；

(2)、若GE•GF＝9，求CG的长．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 4) x + k^{2} + 4 k + 3 = 0$ .

(1)、求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若此一元二次方程的两根是 $R t △ A B C$ 两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值.

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24. 随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增.某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：

(1)、每天增长的百分率是多少？

(2)、经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？

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25. 如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5

(1)、用含t的代数式表示AP；

(2)、当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；

(3)、如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．

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26. 数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 $△ A B C$ 中，AB=AC=m，BC=n， $∠ B A C = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 $\frac{E F}{A P}$ 的值和 $β$ 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)、填空：
【问题发现】
小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{E F}{P A} =$   ▲   ， $β =$   ▲  ；
小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{E F}{P A} =$   ▲   ， $β =$   ▲  ；
【类比探究】
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\frac{E F}{P A}$ ；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{E F}{P A} =$   ▲  （用含m、n的式子表示）； $β =$   ▲   （用含α的式子表示）．

(2)、求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{E F}{P A}$ 的值和 $β$ 的度数．

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