人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之动态几何问题（不含相似及三角函数九上适用）

试卷更新日期：2022-09-27 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.
图1 图2

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)、设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $S_{△ P A B} = 6$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

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2. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，直线 $B C$ 方程为 $y = x - 3$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 是抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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3. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， $A (1 ， 0)$ ， $A B = 4$ ，点P为线段 $A B$ 上的动点，过P作 $P Q ∥ B C$ 交 $A C$ 于点Q．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求 $△ C P Q$ 面积的最大值，并求此时P点坐标．

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4. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝－x＋3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且 $S_{△ A B D} = 4$ ，点P是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的动点．

(1)、求抛物线的函数解析式．

(2)、当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．

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5. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点D为直线 $A B$ 上方抛物线上的一点， $∠ A B D = 2 ∠ B A C$ ，直接写出点D的坐标．

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 经过 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线上一动点，设点 $D$ 的横坐标为 $m (1 < m < 4)$ ，连结 $A C$ 、 $B C$ 、 $D B$ 、 $D C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、当 $△ B C D$ 的面积等于 $△ A O C$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ 时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $m = 2$ 时，若点 $M$ 是 $x$ 轴上一动点，点 $N$ 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$ ，使得以点 $B$ 、 $D$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. 已知抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} - (m + 1) x - 1$ 与x轴有公共点．

(1)、当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ （如图所示），抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；

(3)、D为抛物线 $C_{2}$ 的顶点，过点C作抛物线 $C_{2}$ 的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线 $C_{2}$ 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)、当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)、证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)、在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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9. 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $∥$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的关系式；

(2)、若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)、将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)、如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $- \frac{1}{2}$ ， 0），B（3， $\frac{7}{2}$ ）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)、抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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11. 如图，已知直线y＝ $\frac{4}{3}$ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)、若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在对称轴上找一点Q，使 $△ A C Q$ 的周长最小，求点Q的坐标；

(3)、点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $△ P M B$ 是以 $P B$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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13. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点 $P$ 是第三象限抛物线上一点，直线 $P E$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ， $△ B C D$ 的面积为12，求点 $P$ 的坐标．

(3)、在（2）的条件下，若点 $E$ 是线段 $B C$ 上点，连接 $O E$ ，将 $△ O E B$ 沿直线 $O E$ 翻折得到 $△ O E B^{'}$ ，当直线 $E B^{'}$ 与直线 $B P$ 相交所成锐角为 $45 °$ 时，求点 $B^{'}$ 的坐标．

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ .

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $D$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $D M$ 交直线 $B C$ 于点 $N$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点 $N$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $E$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $F$ ，使以点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 探索发现

(1)、在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；

(2)、通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析

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16. 综合与探究
如图，某一次函数与二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；

(3)、点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；

(4)、在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交y轴于点 $A (0 ， - 4)$ ，并经过点 $C (6 ， 0)$ ，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ ， D点的坐标为 $(4 ， 0)$ ，连接 $A D$ ， $B C$ ， $B D$ .点E从A点出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿着射线 $A D$ 运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作 $E F ⊥ A B$ 于F，以 $E F$ 为对角线作正方形 $E G F H$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点G随着E点运动到达 $B C$ 上时，求此时m的值和点G的坐标；

(3)、在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

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18. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a > 0$ ）的顶点为P，与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B．

(1)、若 $b = - 2 ， c = - 3$ ，
①求点P的坐标；
②直线 $x = m$ （m是常数， $1 < m < 3$ ）与抛物线相交于点M，与 $B P$ 相交于点G，当 $M G$ 取得最大值时，求点M，G的坐标；

(2)、若 $3 b = 2 c$ ，直线 $x = 2$ 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当 $P F + F E + E N$ 的最小值为5时，求点E，F的坐标．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $A C ， B C$ ．

(1)、求线段AC的长；

(2)、若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 $P A = P C$ 时，求点P的坐标；

(3)、若点M为该抛物线上的一个动点，当 $△ B C M$ 为直角三角形时，求点M的坐标．

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20. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、连接 $B C$ ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 $∠ P C B = ∠ A B C$ ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 $A Q$ ， $B Q$ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， $E M + E N$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与直线AB交于点A(0，-4)，B(4，0)．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (0 ， \sqrt{3})$ ， $B (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $C (1 ， 0)$ ， $D (1 ， \sqrt{3})$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点．

(1)、求证：四边形 $A O C D$ 是矩形；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、 $△ A C D$ 绕平面内一点 $M$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{1} C_{1} D_{1}$ ，即点 $A$ ， $C$ ， $D$ 的对应点分别为 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ ，若 $△ A_{1} C_{1} D_{1}$ 恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出 $A_{1}$ 的坐标．

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23. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 8$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线 $P E ∥ y$ 轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角 $△ P D F$ ．

(1)、求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；

(2)、设点P的横坐标为m（ $0 < m < 3$ ），在点P运动的过程中，当等腰直角 $△ P D F$ 的面积为9时，请求出m的值；

(3)、连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使 $∠ A C O ＋ ∠ B C M = ∠ A B C$ ，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - x - 5$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x + c$ 经过点A、点B．

(1)、求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；

(2)、若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；

(3)、点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且 $B D = \sqrt{2} A C$ ，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．

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25. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1)、抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；

(2)、如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，连接OP交BC于点D，当S_△CPD∶S_△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；

(4)、如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．

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26. 综合与探究
如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与x轴负半轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．

(1)、求抛物线和直线AF的解析式；

(2)、在直线AF上方的抛物线上有一点P，使 $S_{△ P A E} = 3 S_{△ P D E}$ ，求点P的坐标；

(3)、若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (8 ， 0)$ 两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P在 $B C$ 上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交 $B C$ 于点D，过点P作 $B C$ 的垂线，垂足为Q，若 $△ P Q D ≌ △ B E D$ ，求m的值；

(3)、如图2，将直线 $B C$ 沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线 $M N$ 于点D，是否存在一点P，使 $△ B M D$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．

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28. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + m x + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴 $x = \frac{3}{2}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、在抛物线对称轴上找点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形，请求出点 $P$ 的坐标；（提醒满足条件的点 $P$ 可能不只一个）

(3)、点 $E$ 是线段 $B C$ 上一个动点，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $F$ ，与 $x$ 轴相交于点 $H$ ，连接 $C F$ 、 $B F$ 、 $O E$ ，当四边形 $C D B F$ 的面积最大时，请你说明四边形 $O C F E$ 的形状．

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