2022-2023学年苏科版数学七上尖子生考点培优专题训练3 定义新运算

试卷更新日期：2022-09-26 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如果规定符号“*”的意义为：a*b $= \frac{a \times b}{a + b}$ ，则 $2 * (- 3)$ 的值是（）

A、6 B、－6 C、 $\frac{6}{5}$ D、－ $\frac{6}{5}$

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2. 现定义一种新运算“*”，规定 $a * b = b^{2} - a$ ，如 $3 * 1 = 1^{2} - 3 = - 2$ ，则 $(- 2) * (- 3)$ 等于（）

A、11 B、－11 C、7 D、－7

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3. 规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有 $a \oplus b = a b - a + b - 1$ ，例如： $2 \oplus 5 = 2 \times 5 - 2 + 5 - 1$ ，则方程 $2 \oplus x = 1$ 的解是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4.
对于有理数 $a$ ， $b$ ，定义 $a ⊙ b = 2 a - b$ ，则 $[(x - y) ⊙ (x + y)] ⊙ 3 x$ 化简后得（）

A、 $- x + y$ B、 $- x - 6 y$ C、 $- x + 6 y$ D、 $- x + 4 y$

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5. 任意四个有理数a、b、c、d，定义了一种新运算： $| \begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array} | = a d - b c$ ，若 $| \begin{array}{l} 2 & 3 x \\ 1 & x \end{array} | = 6$ ，则x的值为（）

A、2 B、3 C、6 D、 $- 6$

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6. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则 $\frac{2017!}{2016!}$ 的值为（　　）

A、2017 B、2016 C、2017！ D、2016!

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7. 已知 $C_{3}^{2}$ = $\frac{3 \times 2}{1 \times 3}$ =3， $C_{3}^{5}$ = $\frac{5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3}$ =10， $C_{6}^{4}$ = $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{1 \times 2 \times 3 \times 4}$ =15，……观察以上计算过程，寻找规律．计算 C₈5=（）

A、72 B、56 C、42 D、40

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8. 已知：[x]表示不大于x的最大整数．例：[3.6]＝3，[﹣0.9]＝﹣1，现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.6}＝1.6﹣[1.6]＝0.6，计算{4.9}﹣{﹣1.8}的结果为（）

A、6.7 B、3.1 C、1.1 D、0.7

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9. 我们常用的十进制数，如2639＝2×10³＋6×10²＋3×10¹＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×7³＋5×7²＋1×7¹＋3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A、1435天 B、565天 C、365天 D、13天

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10. 已知有理数 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ，-1的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ．如果 $a_{1} = - 3$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数…依此类推，那么 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} \dots + a_{2017} - a_{2018} + a_{2019} - a_{2020}$ 的值是（）

A、-3 B、 $- \frac{11}{4}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、 $\frac{13}{12}$

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二、填空题

11. 规定一种新运算：a⊗b＝a²﹣2b，若2⊗ [ 3 ⊗（﹣x）]＝6，则x的值为

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12. 如果定义新运算： $a ※ b = \frac{a + b}{a - b} (a \neq b)$ ，那么（1※2）※3的值为．

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13. 定义一种新运算“※”：对于任意有理数x和y，x※y= $x y + a (x + y) + 1$ （a为常数）.例如：2※3=2×3+（2+3）a+1=5a+7.若2※（-1）的值为3，则a的值为.

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14. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则（﹣2）⊕3＝．

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15. 如图定义一种新运算“⊗”，如：2⊗1＝ $\frac{2 + 2 \times 1}{2}$ ＝2；x⊗y＝ $\frac{x + 2 y}{x}$ ，则（4⊗2）⊗（﹣1）＝．

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16. 已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a²+ab﹣5，例如：1#2＝1²+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 .

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17. 已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝2b﹣3a，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（3※2）※5＝．

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18. 符号“ $Σ$ ”表示和，如 $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} 3 a_{i} - \sum_{i = 1}^{5} (2 a_{i} - 3) - \sum_{i = 1}^{5} a_{i} =$ .

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19. 符号“ $f$ ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
① $f (1) = 0$ ， $f (2) = 1$ ， $f (3) = 2$ ， $f (4) = 3$ ， …；
② $f (\frac{1}{2}) = 2$ ， $f (\frac{1}{3}) = 3$ ， $f (\frac{1}{4}) = 4$ ， $f (\frac{1}{5}) = 5$ ， …．
利用以上规律计算： $f (\frac{1}{2008}) - f (2008)$ = ．

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20. 在计算 $1 + 3 + 3^{2} \cdot \cdot \cdot + 3^{100}$ 的值时，可设 $S = 1 + 3 + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + 3^{100}$ ， ①则 $3 S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{101}$ ②．∴②-①，得 $2 S = 3^{101} - 1$ ，所以 $S = \frac{3^{101} - 1}{2}$ ，试利用上述方法求 $1 + 8 + 8^{2} + \cdot \cdot \cdot + 8^{2004}$ 的值：．

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三、解答题

21. 若“三角表示运算a﹣b+c，“方框” 表示运算x﹣y+z+w.求： × 表示的运算，并计算结果.

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22. 已知x，y为有理数，现规定一种新运算“ $\otimes$ ”，满足 $x \otimes y = x y - 2021$ ．

(1)、求 $(2 \otimes 5) \otimes (- 4)$ 的值；

(2)、记 $P = a \otimes (b - c)$ ， $Q = a \otimes b - a \otimes c$ ，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．

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23. 设 $a ， b ， c ， d$ 为实数，则我们把形如 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} |$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，请利用此法则解决以下问题：

(1)、求 $| \begin{array}{l} 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 的值；

(2)、若 $| \begin{array}{l} 2 & 3 \\ 1 - x & 5 \end{array} | = 22$ ，求 $x$ 的值.

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24. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab²＋2ab＋a，如：1☆3＝1×3²＋2×1×3＋1＝16．

(1)、求（－2）☆3的值；

(2)、若（ $\frac{a + 1}{2}$ ☆3）☆ $(- \frac{1}{2})$ ＝8，求a的值；

(3)、若2☆x＝m， $(\frac{1}{4} x)$ ☆3＝n（其中x为有理数），写出m，n的大小．

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25. 用“⊗”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定x⊗y＝ ${\begin{array}{l} 2 x + \frac{1}{2} y (x \leq y) \\ y - \frac{1}{2} x (x > y) \end{array}$ ．

(1)、求2⊗（﹣3）的值；

(2)、若（﹣a²）⊗2＝m，求m的最大整数；

(3)、若关于n的方程满足：1⊗n＝﹣ $\frac{3}{2}$ n﹣2，求n的值；

(4)、若 $- \frac{1}{3} A = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{8}{3} t^{2} - 2 t - 2$ ， $\frac{1}{2} B = - \frac{1}{2}$ t³+2t²+3t+1，且A⊗B＝﹣2，求5+12t﹣2t³的值．

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26. 对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为： $a ※ b = {\begin{array}{l} 2 a - b (a \geq b) \\ a - \frac{2}{3} b (a < b) \end{array}$ ，如：5※3＝2×5﹣3＝7， $1 ※ 3 = 1 - \frac{2}{3} \times 3 = - 1$ ．

(1)、计算：①2※（﹣1）＝；②（-4）※（﹣3）＝；

(2)、若3※m＝﹣1+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x＝2，求m的值；

(3)、若A＜B，A＝﹣x³+4x²﹣x+1，B＝﹣x³+6x²﹣x+2，且A※B＝﹣3，求2x³+2x的值．

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27. 阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子 $2^{3} = 8$ 可以变形为 $l o g_{2} 8 = 3 ， l o g_{5} 25 = 2$ 也可以变形为 $5^{2} = 25$ .在式子 $2^{3} = 8$ 中，3叫做以2为底8的对数，记为 $l o g_{2} 8 .$ 一般地，若 $a^{n} = b (a ＞ 0 且 a \neq 1 ， b ＞ 0) ，$ 则 $n$ 叫做以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记为 $l o g_{a} b (即 l o g_{a} b = n) ，$ 且具有性质：

$① l o g_{a} b^{n} = n l o g_{a} b ； ② l o g_{a} a^{n} = n ； ③ l o g_{a} M + l o g_{a} N = l o g_{a} (M \cdot N) ，$

其中 $a ＞ 0$ 且 $a \neq 1 ， M ＞ 0 ， N ＞ 0 .$

根据上面的规定，请解决下面问题：

(1)、计算： $\log_{3}^{1}$ ； $\log_{10}^{25} + \log_{10}^{4}$ (请直接写出结果)；

(2)、已知 $x = l o g_{3} 2 ，$ 请你用含 $x$ 的代数式来表示 $y ，$ 其中 $y = l o g_{3} 72$ (请写出必要的过程).

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28. 对于数轴上的两点P ， Q给出如下定义：P ， Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P ， Q两点的友好距离，记为（POQ）．
例如：P ， Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．

(1)、A ， B两点表示的数，如图所示：

①A ， B两点的友好距离为　 ▲ 　；

②若C为数轴上一点（不与点O重合），且（AOB）＝2（AOC），求点C表示的数；

(2)、M ， N为数轴上的两点（点M在点N左边），且MN＝4，若（MON）＝2，直接写出点N表示的数．

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29. 定义：若 $A$ ， $B$ ， $C$ 为数轴上三点，若点 $C$ 到点 $A$ 的距离是点 $C$ 到点 $B$ 的距离2倍，我们就称点 $C$ 是 $[A ， B]$ 的美好点．
例如；如图1，点 $A$ 表示的数为-1，点 $B$ 表示的数为2．表示1的点 $C$ 到点 $A$ 的距离是2，到点 $B$ 的距离是1，那么点 $C$ 是 $[A ， B]$ 的美好点；又如，表示0的点 $D$ 到点 $A$ 的距离是1，到点 $B$ 的距离是2，那么点 $D$ 就不是 $[A ， B]$ 的美好点，但点 $D$ 是 $[B ， A]$ 的美好点．

如图2， $M$ ， $N$ 为数轴上两点，点 $M$ 所表示的数为 $- 7$ ，点 $N$ 所表示的数为 $2$ ．

(1)、点 $E$ ， $F$ ， $G$ 表示的数分别是 $- 3$ ， $6.5$ ， $11$ ，其中是 $[M ， N]$ 美好点的是；写出 $[M ， N]$ 美好点 $H$ 所表示的数是．

(2)、现有一只电子蚂蚁 $P$ 从点 $N$ 开始出发，以 $2$ 个单位每秒的速度向左运动．当 $t$ 为何值时，点 $P$ 恰好为 $[N ， M]$ 的美好点?

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