云南省名校2022-2023学年高三上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ x^{2} < 2} ， N = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 2}$

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2. $i$ 是虚数单位，则 $z$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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3. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $D$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 3$ ，则 $| \vec{B C} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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4. 近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）

A、2021年第四季度销售额最低 B、2月销售额占全年销售额的8%. C、2021年全年销售总额约为1079万元 D、7月的销售额约为46万元

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5. 函数 $y = l n (e^{x} + e^{- x})$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知抛物线 $D ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $D$ 上，过点 $P$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $A$ ，若 $| P A | = | A F |$ ，则 $| P F | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7. 图中的矩形的个数为（）

A、12 B、30 C、60 D、120

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8. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的六个顶点都在球 $O$ 的球面上，若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为1，则球 $O$ 的表面积的最小值为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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二、多选题

9. “堑堵”“阳马”和“鳖臑””是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.
若长方体的体积为 $V$ ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为 $V_{1} ， V_{2} ， V_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $V_{1} + V_{2} + V_{3} = V$ B、 $V_{1} = 2 V_{2}$ C、 $V_{2} = 2 V_{3}$ D、 $V_{3} = \frac{V}{6}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 满足 $f (x_{0}) = f (x_{0} + 1) = \frac{1}{2} ， f (x_{0} + \frac{1}{2}) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(x_{0} ， x_{0} + 1)$ 上一定有极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(x_{0} + \frac{1}{2} ， x_{0} + 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在区间 $(x_{0} ， x_{0} + 1)$ 上的零点个数为0 D、 $f (x)$ 在区间 $(x_{0} ， x_{0} + 1)$ 上可能有极小值点

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， \forall x_{1} ， x_{2} \in R ， x_{2} - x_{1} = 2$ ，都有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (23) = 1$ B、 $f (- 23) = 1$ C、 $f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = 1$ D、 $f (x) + f (x + 1) + f (x + 2) + f (x + 3) = 0$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， O$ 为坐标原点，直线 $l ： 3 x - 2 y + m = 0$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、当 $m \neq 0$ 时，直线 $O M$ 与 $l$ 垂直 B、点 $M$ 在直线 $3 x + 2 y = 0$ 上 C、 $| O M |$ 的取值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{26}}{2})$ D、存在点 $M$ ，使得 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 2$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）

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14. 某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中 $A$ 等占 $25 % ， B$ 等占 $40 % ， C$ 等占 $30 % ， D$ 等占 $5 %$ 的比例，规定达到 $C$ 等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为.

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15. 写出与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $O_{1} ： (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 都相切的一个圆的方程.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a l n (1 + x) - (1 + a) x - 1$ ，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) ⩾ 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，设 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ .

(1)、求 ${b_{n}}$ 的通项公式，并证明数列 ${b_{n}}$ 为等比数列；

(2)、将 $b_{1}$ 插入 $a_{1} ， a_{2}$ 中， $b_{2} ， b_{3}$ 插入 $a_{2} ， a_{3}$ 中， $b_{4} ， b_{5} ， b_{6}$ 插入 $a_{3} ， a_{4}$ 中， $⋯$ ，依此规律得到新数列 $a_{1} ， b_{1} ， a_{2} ， b_{2} ， b_{3} ， a_{3} ， b_{4} ， b_{5} ， b_{6} ， a_{4} ， ⋯$ ，求该数列前20项的和.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ，$ 且 $a > c ， c o s B = \frac{1}{3} ， b = 3 ， △ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $s i n 2 C$ .

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19. 鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为 $\frac{1}{5}$ ，卖出 $2$ 箱的概率为 $\frac{1}{2}$ ，卖出 $1$ 箱的概率为 $\frac{1}{5}$ ，没有卖出的概率为 $\frac{1}{10}$ ，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出 $2$ 箱及以上，则需补货至 $3$ 箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有 $3$ 箱鲜花饼.

(1)、在第一天结束营业后货架上有 $2$ 箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有 $1$ 箱存货的概率；

(2)、求第二天结束营业时货架上有 $1$ 箱存货的概率.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D ， E$ 分别为 $A B ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明：直线 $D E$ $∥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C ， A B = B C = B B_{1} = 2$ ，求平面 $A B_{1} C_{1}$ 与平面 $D B E$ 所成角的余弦值.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F (2 ， 0)$ ，直线 $l ： x = \frac{1}{2}$ ，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，若点 $M$ 满足 $| M F | = 2 d$ ，记 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且斜率不为零的直线 $m$ 与 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，设 $A (- 1 ， 0)$ ，证明： $A P ⊥ A Q$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} - l n x ， a > 0 ， a \neq 1$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在唯一极小值点 $x_{0}$ ，证明： $\frac{1}{a} < x_{0} < \frac{1}{l n a}$ .

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