湖南省长沙市四校联考2022-2023学年高二上学期数学9月阶段考试试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (x^{2} - 4) + (x + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $x$ 的值为（）

A、2 B、－2 C、 $\pm 2$ D、4

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2. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a > b > \frac{a + b}{2} > \sqrt{a b}$ B、 $a > \frac{a + b}{2} > \sqrt{a b} > b$ C、 $a > \frac{a + b}{2} > b > \sqrt{a b}$ D、 $\frac{a + b}{2} > a > \sqrt{a b} > b$

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3. 在平面四边形 $A B C D$ 中，满足 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{C D} = 0 ， (\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A D}) \cdot \overset{⇀}{A C} = 0$ ，则四边形 $A B C D$ 是（）

A、矩形 B、正方形 C、菱形 D、梯形

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4. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{1 + π^{2}}}{4 π}$ B、 $\frac{5 \sqrt{1 + 4 π^{2}}}{4 π}$ C、 $\frac{5 \sqrt{1 + π^{2}}}{2 π}$ D、 $\frac{5 \sqrt{1 + 4 π^{2}}}{2 π}$

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5. 已知 $a$ ， $b$ 是两条不重合直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $b / / α$ ，则 $a / / α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a / / α$ ，则 $a ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊄ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a / / α$ D、若 $b ⊥ α$ ， $a / / b$ ， $β ⊥ α$ ，则 $a / / β$

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a - b = c c o s B - c c o s A$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在区间 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，若实数 $a$ 满足 $f (\log_{2} a) + f (\log_{\frac{1}{2}} a) \leq 2 f (1)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ D、 $(0 ， 2]$

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8. 在 $Δ A B C$ 中 $A = \frac{π}{3}, b + c = 4, E 、 F$ 为边 $B C$ 的三等分点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{26}{9}$ D、 $3$

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二、多选题

9. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $B C = 7$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、 $△ A B C$ 面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{15}{2}$

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10. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $g (x)$ 在 $[\frac{3}{4} π ， \frac{5}{4} π]$ 上单调递增 D、 $g (x)$ 图像关于原点对称

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11. 将边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角 $A - B D - C$ ，如图所示，点 $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $A D$ 的中点，则（）

A、 $E F ⊥ B C$ B、四面体 $A - B C D$ 的表面积为 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、四面体 $A - B C D$ 的外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ D、过 $E F$ 且与 $B D$ 平行的平面截四面体 $A - B C D$ 所得截面的面积为 $\sqrt{2}$

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12. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的图象连续不断，若存在常数 $t (t \in R)$ ，使得 $f (x + t) + t f (x) = 0$ 对任意的实数x成立，则称 $f (x)$ 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）

A、常值函数 $f (x) = a (a \neq 0)$ 为回旋函数的充要条件是 $t = - 1$ ； B、若 $y = a^{x} (0 < a < 1)$ 为回旋函数，则 $t > 1$ ； C、函数 $f (x) = x^{2}$ 不是回旋函数； D、若 $f (x)$ 是 $t = 2$ 的回旋函数，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 4030]$ 上至少有2015个零点.

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三、填空题

13. 已知 $x$ ， $y \in R^{*}$ ，若 $x + y + x y = 8$ ，则 $x y$ 的最大值为

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (q ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影数量等于 $- 1$ ，则 $q =$ .

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四、双空题

15. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ D A B = 60 °$ .将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得点 $A$ 至点 $P$ 的位置，得到四面体 $P - B C D$ .当二面角 $P - B D - C$ 的大小为120°时，四面体 $P - B C D$ 的体积为；当四面体 $P - B C D$ 的体积为1时，以 $P$ 为球心， $P B$ 的长为半径的球面被平面 $B C D$ 所截得的曲线在 $△ B C D$ 内部的长为.

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C$ 的射影恰好是 $△ A B C$ 内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面 $A B C$ 的最长边长为10，则点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为；三棱锥 $P - A B C$ 外接球的直径是.

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五、解答题

17. 如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $\vec{C C_{1}} = \vec{c}$ ， $C A = C B = C C_{1} = 1$ ， $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = ⟨ \vec{a} ， \vec{c} ⟩ = \frac{2 π}{3}$ ， $⟨ \vec{b} ， \vec{c} ⟩ = \frac{π}{2}$ ， $N$ 是 $A B$ 中点．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{A_{1} N}$ ；

(2)、在线段 $C_{1} B_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使 $A M ⊥ A_{1} N$ ？若存在，求出 $M$ 的位置，若不存在，说明理由．

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18. 已知函数 $f (x) = 3^{- x}$ ．

(1)、若函数 $y = | f (x) - 3 | - k$ 在 $x \in [- 2 ， 1]$ 上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；

(2)、是否存在实数m，使得函数 $y = 4 - m - \frac{l o g_{3} f (x^{2} - 4)}{x} (x > 0)$ 在[a，b]上的值域为[2a，2b]，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

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19. 如图所示，已知 $D O E$ 是半径为 $\sqrt{3}$ ，中心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形， $P$ 为弧 $\overset{⌢}{D E}$ 上一动点，四边形 $P Q M N$ 是矩形， $∠ P O D = x (0 < x < \frac{π}{3})$ ．

(1)、求矩形 $P Q M N$ 的面积 $f (x)$ 的最大值及取得最大值时的 $x$ 值；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $f (C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $c = 2$ ，其面积 $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20. 某学习小组在寒假社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $P (x)$ （元）与时间x（天）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （k为正常数）．该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x（天）
10
20
25
30
$Q (x)$
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．

(1)、求k的值；

(2)、给出两种函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ， ② $Q (x) = a | x - 25 | + b$ ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间x的关系，并求出该函数的解析式；

(3)、求该商品的日销售收入 $f (x) (1 \leq x \leq 30 ， x \in N^{*})$ （元）的最小值．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B C D = 60^{\circ} ， P D ⊥ A D ， P B = \frac{4 \sqrt{3}}{3} ， E$ 是 $B C$ 边的中点．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P D E$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，求二面角 $P - A D - C$ 的大小．

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22. 已知区间D，若两个函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 对任意 $x \in D$ 都有 $\frac{f (x)}{g (x)} > k$ （其中 $k > 0$ ， $g (x) \neq 0$ ），则称函数 $y = f (x)$ 是 $y = g (x)$ 在区间D上的超k倍函数.

(1)、已知命题“区间 $D = (1 ， 5]$ ，函数 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$ 是 $g (x) = x - 1$ 在区间D上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

(2)、若函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 是 $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ 在 $R$ 上的超k倍函数，求实数k的取值范围；

(3)、已知区间 $D = [1 ， 2]$ ，常数 $c > 1$ ，若函数 $F (x) = c^{2 x} - c^{- 2 x}$ 是 $G (x) = c^{x} - c^{- x}$ 在区间D上的超4倍函数，求实数c的取值范围.

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x（天）	10	20	25	30
$Q (x)$	110	120	125	120