人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之几何问题

试卷更新日期：2022-09-26 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数 $y = k x + 1$ 的图象经过点B和二次函数图象上另一点A. 其中点A的坐标为（4 ，3）.

(1)、求二次函数和一次函数的解析式；

(2)、若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作 $x$ 轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值.

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2. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-2，0）、（0，-4），点B在x轴上，已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=2，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长.

(3)、求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.

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3. 如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）.

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值.

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4. 如图，二次函数y＝ax²+bx+4与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣2，0)，B点坐标为(8，0).

(1)、求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

(2)、如果M为抛物线的顶点，连接CM、BM，求四边形COBM的面积.

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5. 如图是二次函数y＝x²＋bx＋c的图象，其顶点坐标为M(1，－4).

(1)、求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

(2)、在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△_PAB＝ $\frac{5}{4}$ S_△_MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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6. 如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

(1)、求直线OA和二次函数的解析式；

(2)、当点P在直线OA的上方时，
①当PC的长最大时，求点P的坐标；
②当S_△_PCO=S_△_CDO时，求点P的坐标．

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7. 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $A (4 ， 0)$ 的直线AB与y轴交于点 $B (0 ， 4)$ ．经过原点O的抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $M N ∥ y$ 轴且 $M N = 2$ 时，求点M的坐标；

(3)、P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 二次函数y＝ax²+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、连接PA，PC，求 $S_{Δ P A C}$ 的最大值；

(3)、连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．

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9. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点 C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M是线段BC上的点（不与 B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；

(3)、在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值及△BNC的面积最大值；若不存在，说明理由．

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10. 如图，已知二次函数图象的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M，N两点

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、P为平面内一点，当 $Δ P M N$ 时等边三角形时，求点P的坐标；

(3)、在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线 $y = - 1$ 相切，若存在，求出点E的坐标，并求 $⊙ E$ 的半径；若不存在，说明理由．

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11. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．

(1)、求B、C两点坐标；

(2)、求该二次函数的关系式；

(3)、若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

(4)、若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象，与 $x$ 轴交于原点和点 $E$ ，顶点 $P$ 的坐标为 $(2 ， 4)$ .

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过 $O (0 ， 0) ， E (4 ， 0)$ 两点可以画无数条抛物线，设顶点为 $Q$ ，过点 $Q$ 向 $x$ 轴、 $y$ 轴作垂线，垂足为点 $M ， N$ .求当所得的四边形 $O M Q N$ 为正方形时的二次函数表达式；

(3)、 $G$ 点在（1）中求出的二次函数图象上，且 $G$ 点的横坐标为1， $H$ 点是坐标平面上一点，点 $R$ 在 $x$ 轴上，是否存在以 $E ， R ， G ， H$ 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点 $R$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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13. 已知二次函数y＝ax²+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），

(1)、求二次函数的表达式

(2)、D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求使△ADC面积最大时点D的坐标；

(3)、M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标

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14. 已知：二次函数y＝ax²+bx+c的图象的顶点为（－1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)、若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象分别交 $x$ 轴于点 $A$ ， $C$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其中点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；

(2)、在直线 $A B$ 的上方抛物线上有一点 $E$ ，且满足 $∠ A B E = 2 ∠ O A B$ ，请求出点 $E$ 的坐标；

(3)、点 $M$ 为对称轴上一点，点 $N$ 为抛物线上一点，是否存在点 $M$ ， $N$ ，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点 $N$ 的坐标，若不存在请说明理由．

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16. 如图，对称轴为直线 $x = - 1$ 的二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0).

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、在直线 $x = - 1$ 上找一点P，使 $△$ PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

(3)、若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？

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17. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c （ a \neq 0 ）$ 的图象与x轴交于 $A ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， - 3)$ ，

(1)、求二次函数的表达式及A点坐标；

(2)、D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线 $A C$ 的距离取得最大值时点D的坐标；

(3)、M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以 $M 、 N 、 B 、 O$ 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．

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18. 已知：如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中 $A$ 点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 5)$ ，另抛物线经过点 $(1 ， 8)$ ， $M$ 为它的顶点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $△ M C B$ 的面积 $S_{△ M C B}$ .

(3)、是否存在在抛物线上的点 $P$ 使得 $△ P A B$ 的面积为15，如果存在求出 $P$ 点的坐标，若不存在请说明理由.

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19. 二次函数y=-x²+bx+c的图像与x轴交于点B(-3，0)，与y轴交于点C(0，-3)。

(1)、求二次函数解析式；

(2)、设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；

(3)、连接CD，求∠OCA与∠OCD的两个角的和的度数。

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20. 如图，已知二次函数y=ax²+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C

(1)、求此二次函数解析式；

(2)、点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；

(3)、将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值.

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21. 如图，直线y=- $\frac{1}{2}$ x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)．

(1)、求B，C两点的坐标．

(2)、求该二次函数的解析式．

(3)、若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

(4)、点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

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22. 如图，二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点（－1，4），且与直线y＝－ $\frac{1}{2}$ x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

(3)、在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标.

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23. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a$ （ $a > 0$ ）的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，横坐标分别为 $m$ ， $n$ （ $m < n$ ）的 $D$ 、 $E$ 两点在线段 $B C$ 上（不与 $B$ 、 $C$ 重合），过 $D$ 、 $E$ 两点作 $x$ 轴的垂线分别交抛物线于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $F G$ .

(1)、求线段 $A B$ 的值.

(2)、若四边形 $D E G F$ 是平行四边形；
①点 $D$ 、 $E$ 横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由.

②当 $a = \frac{4}{3}$ 时，平行四边形 $D E G F$ 能否为菱形；若能，求出菱形的周长：若不能，请说明理由.

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24. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象交x轴于点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，交y轴于点C.点 $P (m ， 0)$ 是x轴上的一动点， $P M ⊥ x$ 轴，交直线 $A C$ 于点M，交抛物线于点N.

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、①若点P仅在线段 $A O$ 上运动，如图1.求线段 $M N$ 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）。

(1)、求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

(2)、点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

(3)、在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 $\sqrt{2}$ ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由。

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26. 如图，二次函数y＝﹣2x²+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C.

(1)、求m的值；

(2)、求点B的坐标；

(3)、该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使S_△_ABD＝S_△_ABC ，求点D的坐标.

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27. 如图①，二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在 $B$ 的左侧），顶点为 $C$ ，连接 $B C$ 并延长交 $y$ 轴于点 $D$ ，若 $B C = 2 C D$ .

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、在 $x$ 轴上方有一点 $H$ ， $H A ⊥ A C$ ，且 $H A = A C$ ，连接 $C H$ 并延长交抛物线于点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、如图②，折叠△ $A B C$ ，使点 $C$ 落在线段 $A B$ 上的点 $C'_{}$ 处，折痕为 $E F$ .若△ $C^{'} E F$ 有一条边与 $x$ 轴垂直，直接写出此时点 $C^{'}$ 的坐标.

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28. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A$ （3，0）、 $C$ （－1，0）．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、如图，二次函数的图象与 $y$ 轴交于点 $B$ ，二次函数图象的对称轴与直线 $A B$ 交于点 $P$ ，求 $P$ 点的坐标；

(3)、在第一象限内的抛物线上有一点 $Q$ ，当 $Δ Q A B$ 的面积最大时，求点 $Q$ 的坐标．

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