粤湘鄂名校联盟2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 3 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x \in N | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 3 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 设 $\frac{z + i}{z} = i$ ,则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot ... \cdot a_{n} {=2}^{n^{2}}$ (n∈N*)，且对任意n∈N*都有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}} < t$ ，则t的取值范围为（）

A、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） B、[ $\frac{1}{3}$ ，+∞） C、（ $\frac{2}{3}$ ，+∞） D、[ $\frac{2}{3}$ ，+∞）

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4. 已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a l n x + \sqrt{x + 1}$ ， $x > 0$ ，若对任意 $x \in [\frac{1}{9} ， + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{8} ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{8} ， \frac{\sqrt{2}}{4}]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{8}]$

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5. 已知函数 $f (x) = a x - e^{x}$ ， $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $f (x) < a l n x + a - e x$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- \infty$ ， e） D、 $(- \infty ， e]$

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6. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D、E、F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则 $| A Q |$ ＝（）

A、4 B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} ， ∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， O是 $△ A B C$ 外接圆圆心，是 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、3 D、5

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列，且满足： $a_{1} + a_{2020} = 27$ ， $b_{1} \cdot b_{2020} = 2$ ，函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ 且 $f (x) = e^{x}$ ， $x \in [0, 2]$ ，则 $f (\frac{a_{1010} + a_{1011}}{1 + b_{1010} b_{1011}}) =$ （）

A、e B、 $e^{2}$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{9}$

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二、多选题

9. 已知 $0 < x < y < π$ ，且 $e^{y} s i n x = e^{x} s i n y$ ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $s i n x < s i n y$ B、 $s i n x > s i n y$ C、 $c o s x + c o s y > 0$ D、 $c o s x + c o s y < 0$

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10. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球球心为 $O$ ， $E 、 F$ 分别是棱 $A B 、 C C_{1}$ 的中点， $G$ 在棱 $B C$ 上移动，则（）

A、对于任意点 $G$ ， $O A / /$ 平面 $E F G$ B、存在点 $G$ ，使 $O D ⊥$ 平面 $E F G$ C、直线 $E F$ 的被球 $O$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ D、过直线 $E F$ 的平面截球 $O$ 所得截面圆面积的最小值为 $\frac{π}{2}$

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11. 已知函数f(x)= ${\begin{array}{l} x e^{x} ， x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{3}} ， x \geq 1 \end{array}$ ，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（）

A、点（0，0）是函数f（x）的零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1) ， x_{2}$ ∈（1，3），使f（ $x_{1}$ ）>f（ $x_{2}$ ） C、函数f（x）的值域为[ $- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ $\frac{2}{e^{2}} ， \frac{e^{2}}{8}]$ ∪（ $\frac{e}{2} ， + \infty$ ）

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 1$ 对于 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，若定义 $S_{n}^{(1)} = S_{n}$ ， $S_{n}^{(k)} = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}^{(k - 1)} (k \geq 2)$ ，则以下说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $S_{n}^{(3)} = \frac{n^{2} - n + 2}{2} - \frac{1}{2^{n}}$ C、 $S_{n}^{(k + 2)} - S_{n}^{(k)} = \frac{A_{n + k - 1}^{k + 1}}{(k + 1)!}$ D、存在 $n$ 使得 $S_{n}^{(2022)} = \frac{n^{2021}}{2022!}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l$ 过点 $P (0 ， 1)$ ，且与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ 相交于 $A ， B$ 两点，设 $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，若点 $C$ 在圆 $O$ 上，则直线 $l$ 的倾斜角为.

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14. 公比为q的等比数列{ $a_{n}$ }满足： $a_{9} = l n a_{10} > 0$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots \dots a_{n}$ ，则当q最小时，使 $T_{n} \geq 1$ 成立的最小n值是

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15. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行． $L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M₁ ，月球质量为M₂ ，地月距离为R， $L_{2}$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： $\frac{M_{1}}{(R + r)^{2}} + \frac{M_{2}}{r^{2}} = (R + r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ ．设 $α = \frac{r}{R}$ ，由于 $α$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 α^{3} + 3 α^{4} + α^{5}}{(1 + α)^{2}} \approx 3 α^{3}$ ，则r的近似值为．

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四、双空题

16. 将函数 $f (x) = c o s x$ 图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，然后再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的解析式为；若方程 $g (x) = \frac{2}{5}$ 在 $x \in (0 ， π)$ 的解为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $c o s (x_{1} - x_{2}) =$ .

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五、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中， $c = 2 b c o s B$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为已知，使 $Δ A B C$ 存在且唯一确定，并求出 $B C$ 边上的中线的长度．① $c = \sqrt{2} b$ ；②周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ；③面积为 $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是 $a_{n}$ 的前 $n$ 项的和，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列， $b_{2} + b_{6} = a_{4}$ ， $a_{5} - b_{4} = 2 b_{6}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，设 $c_{n} = (- 1)^{n} \frac{(T_{n} + b_{n + 2}) b_{3 n + 4}}{b_{n + 1} b_{n + 2}}$ ，求 $c_{n}$ 的前 $n$ 项的和 $D_{n}$ .

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19. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间 $[0 ， 30]$ 内，按 $[0 ， 5]$ ， $(5 ， 10]$ ， $(10 ， 15]$ ， $(15 ， 20]$ ， $(20 ， 25]$ ， $(25 ， 30]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.
附：观测值公式： $K^{2} = \frac{(a + b + c + d) {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；

(2)、将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
45
合计
100

(3)、调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望.

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20. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$

(1)、证明： $B F ⊥ D E$ ；

(2)、当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面DFE所成的二面角的正弦值最小?

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21. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $x = 4$ 分别与 $x$ 轴交于点 $P$ ，与抛物线 $E$ 交于点 $Q$ ，且 $| Q F | = \frac{5}{4} | P Q |$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、如图，设点 $A ， B ， C$ 都在抛物线 $E$ 上，若 $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} l n x$ ．

(1)、求函数 $y = f (x) - x$ 的最小值；

(2)、若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 有两实数解 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} > \frac{e + 1}{1 - | x_{1} - x_{2} |}$ ．（其中 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.01	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	网购总次数	支付宝支付次数	银行卡支付次数	微信支付次数
甲	80	40	16	24
乙	90	60	18	12

	男	女	合计
网购迷		20
非网购迷	45
合计			100