四川省巴中市2022-2023学年高三上学期理数零诊考试试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，若集合 $M$ 满足 $∁_{U} M = {1 ， 2}$ ．则（）

A、 $2 \in M$ B、 $3 \in M$ C、 $4 \notin M$ D、 $5 \notin M$

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $3 i$ B、 $- 3 i$ C、3 D、－3

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + m^{2} y = 0$ ，则“ $m = 1$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ B、若 $m ∥ β$ ， $α ∩ β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ∩ β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

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6. 已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A (1 ， a)$ ， $B (2 ， b)$ 且 $c o s 2 θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $| O B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 s i n (π x)}{e^{x} + e^{- x}}$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 2022$ ，且 $\frac{S_{2023}}{2023} - \frac{S_{2022}}{2022} = 1$ ，则 $S_{2023} =$ （）

A、0 B、1 C、2022 D、2023

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9. 已知点 $D$ 在直角 $△ A B C$ 的斜边 $B C$ 上，若 $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[0 ， 9]$ D、 $[- 4 ， 9]$

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10. 设 $ω > 0$ ，若函数 $y = c o s (ω x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后与函数 $y = s i n ω x$ 的图象重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - \frac{1}{4} s i n π x$ ．若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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12. 已知 $a = 2 0^{22}$ ， $b = 2 1^{21}$ ， $c = 2 2^{20}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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二、填空题

13. 已知 $(2 - m x)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，若 $a_{3} = 40$ ，则 $m =$ ．

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14. 某智能机器人的广告费用 $x$ （万元）与销售额 $y$ （万元）的统计数据如下表：
广告费用 $x$ （万元）
2
3
5
6
销售额 $y$ （万元）
28
31
41
48
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 5 x + \hat{a}$ ，据此模型预报广告费用为8万元时销售额为万元．

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15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥$ 平面 $A D C$ ， $B D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的体积为．

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三、双空题

16. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c c o s B + b c o s C = 2 a c o s A$ ，则 $A =$ ， $\frac{1}{t a n B} + \frac{1}{t a n C}$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 自《“健康中国2030”规划纲要》颁布实施以来，越来越多的市民加入到绿色运动“健步走”行列以提高自身的健康水平与身体素质．某调查小组为了解本市不同年龄段的市民在一周内健步走的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，部分结果如下表所示，其中一周内健步走少于5万步的人数占样本总数的 $\frac{3}{10}$ ， 45岁以上（含45岁）的人数占样本总数的 $\frac{3}{5}$ ．

一周内健步走 $\geq 5$ 万步
一周内健步走＜5万步
总计
45岁以上（含45岁）
90
45岁以下
总计
附：
$P (k^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.025
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关；

(2)、现从样本中45岁以上（含45岁）的人群中按一周内健步走的步数是否少于5万步用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中一周内健步走步数不少于5万步的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 和直角梯形 $B E F C$ 所在平面互相垂直， $B E ⊥ B C$ ， $B E ∥ C F$ ，且 $A B = B E = 2$ ， $C F = 3$ ．

(1)、证明： $A E ∥$ 平面 $D C F$ ；

(2)、求二面角 $A - E F - C$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且直线 $P A$ 的斜率与直线 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求 $| P Q |$ 的最大值及此时直线 $l$ 的斜率．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} x^{2} + a x (a \in R)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、证明：当 $a \geq 0$ 时，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2}$ 有零点；

(2)、若对任意正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，总存在正数 $x_{0}$ 使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ．试探究 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 与 $x_{0}$ 的大小，并说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 经过点 $P (1 ， 0)$ ，倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ．以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} c o s (θ - \frac{π}{4})$ ．

(1)、求直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于A， $B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | + | 2 x + 3 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 8$ ；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ，若正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = \frac{M}{6}$ ，证明： $a + 2 b + 3 c \geq 9$ ．

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广告费用 $x$ （万元）	2	3	5	6
销售额 $y$ （万元）	28	31	41	48

	一周内健步走 $\geq 5$ 万步	一周内健步走＜5万步	总计
45岁以上（含45岁）	90
45岁以下
总计

$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024