山东省济南市2022-2023学年高三上学期数学9月摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} < 9}$ ， $B = {- 2 ， 0 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 3 < x \leq 3}$ C、 ${x ∣ x \leq 3}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 2}$

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2. 命题“ $\forall x > 0 ， e^{x} + x > 1$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0 ， e^{x} + x \leq 1$ B、 $\forall x \leq 0 ， e^{x} + x \leq 1$ C、 $\exists x > 0 ， e^{x} + x \leq 1$ D、 $\exists x \leq 0 ， e^{x} + x \leq 1$

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3. 已知 $z (- 1 + \sqrt{3} i) = 2$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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4. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 的图象关于（）

A、 $x = \frac{π}{6}$ 对称 B、 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称

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5. 拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（Simpson）公式 $V = \frac{1}{6} h (S_{1} + 4 S_{0} + S_{2})$ 求体积，其中 $h$ 是高， $S_{1}$ 是上底面面积， $S_{2}$ 是下底面面积， $S_{0}$ 是中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积.如图所示，在五面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $E F = 1$ ，且直线 $E F$ 到底面 $A B C D$ 的距离为2，则该五面体的体积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、3 D、 $\frac{10}{3}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2} ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B |$ 的最小值为4，则 $△ A B F_{2}$ 周长的最小值为（）

A、8 B、12 C、16 D、24

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7. 从装有 $a$ 个红球和 $b$ 个蓝球的袋中( $a$ ， $b$ 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为 $A_{1}$ ， “第一次摸球时摸到蓝球”为 $A_{2}$ ；“第二次摸球时摸到红球”为 $B_{1}$ ， “第二次摸球时摸到蓝球”为 $B_{2}$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $P (B_{1}) = \frac{a}{a + b}$ B、 $P (B_{1} ∣ A_{1}) + P (B_{2} ∣ A_{1}) = 1$ C、 $P (B_{1}) + P (B_{2}) = 1$ D、 $P (B_{2} ∣ A_{1}) + P (B_{1} ∣ A_{2}) = 1$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ， $f (x - 1) = f (x + 1)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = - x + 1$ ，则方程 $x f (x) = e l n x$ 在 $(0 ， 4)$ 上解的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 下图为2022年8月5日通报的14天内31省区市疫情趋势，则下列说法正确的是（）

A、无症状感染者的极差大于 $400$ B、确诊病例的方差大于无症状感染者的方差 C、实际新增感染者的平均数小于 $389$ D、实际新增感染者的第80百分位数为641

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10. 如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A C} - \vec{A E} = \vec{B F}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = | \vec{A B} |^{2}$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{A B}$

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11. 如图所示，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ，以 $x$ 轴非负半轴为始边作锐角 $α$ ， $β$ ， $α - β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_{1}$ ， $A_{1}$ ， $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{⌢}{A P}$ 的长度为 $α - β$ B、扇形 $O A_{1} P_{1}$ 的面积为 $α - β$ C、当 $A_{1}$ 与 $P$ 重合时， $| A P_{1} | = 2 s i n β$ D、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，四边形 $O A A_{1} P_{1}$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$

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12. 在正四面体 $A B C D$ 中，若 $A B = \sqrt{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、该四面体外接球的表面积为 $3 π$ B、直线 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、如果点 $M$ 在 $C D$ 上，则 $A M + B M$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ D、过线段 $A B$ 一个三等分点且与 $A B$ 垂直的平面截该四面体所得截面的周长为 $\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}}{3}$

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三、双空题

13. 使命题“若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ ”为假命题的一组 $a$ ， $b$ 的值分别为， .

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四、填空题

14. ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为（用数字作答）.

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15. 过点 $P (- 2 ， 0)$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| P A | \cdot | P B |$ 的值为.

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16. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) + x (\frac{1}{e^{x}} + e^{x}) = 0$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上有 $f^{'} (x) > \frac{1}{e^{2}}$ 成立.若实数 $a$ 满足 $f (1 - a) - f (a) + e^{a - 1} - a e^{a - 1} - a e^{- a} \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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五、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $2 s i n ∠ A C B = \sqrt{3} s i n ∠ A B C ， A B = 2 \sqrt{3} ， B C$ 边上的中线长为 $\sqrt{13}$ .

(1)、求 $A C$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校团委组织团员参加知识竞赛.根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、计算 $x$ 的值；

(2)、采用按比例分层抽样的方法从成绩在 $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记 $χ$ 为这3人中成绩落在 $[80 ， 90)$ 的人数，求 $χ$ 的分布列和数学期望.

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19. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1}^{2} - a_{n} \cdot a_{n + 1} - a_{n} - 1 = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2^{n} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 如图，正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = 2 ， M ， N$ 分别为 $P C ， A C$ 的中点， $B M ⊥ M N$ .

(1)、求点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离；

(2)、求平面 $B M N$ 与 $A B C$ 夹角的余弦值.

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21. 已知点 $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 与椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的公共焦点，椭圆上的点 $M$ 到点 $F$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $M$ 作 $C$ 的两条切线，记切点分别为 $A ， B$ ，求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a x - a x c o s x - s i n x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的最大值；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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