辽宁省鞍山市2022-2023学年高三上学期数学第一次质量监测试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 如果 $\frac{1}{z - 1} = \frac{i}{2}$ ，那么在复平面内，复数 $z$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x \in R | - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x \in N | 2^{x} < 4}$ ，则集合 $A ∩ B$ 的子集个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. “幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数”是“函数 $g (x) = 2^{x} - m^{2} \cdot 2^{- x}$ 为奇函数”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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4. 抛物线 $y = \frac{4}{3} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3} ， 0)$ C、 $(0 ， \frac{3}{16})$ D、 $(0 ， \frac{2}{3})$

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5. 函数 $y = s i n (\frac{π}{4} - 2 x)$ 的单调减区间是（）

A、 $[k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{3 π}{8}] ， (k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{π}{8} ， 2 k π + \frac{3 π}{8}] ， (k \in Z)$ C、 $[2 k π + \frac{3 π}{8} ， 2 k π + \frac{7 π}{8}] ， (k \in Z)$ D、 $[k π + \frac{3 π}{8} ， k π + \frac{7 π}{8}] ， (k \in Z)$

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6. 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为 $16 π$ ，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（）

A、 $54 \sqrt{3}$ B、 $72 \sqrt{3}$ C、 $96 \sqrt{3}$ D、 $108 \sqrt{3}$

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7. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的 $\sqrt[10]{10}$ 倍，若视力4.0的视标边长为 $a$ ，则视力4.9的视标边长为（）

A、 $1 0^{\frac{4}{5}} a$ B、 $1 0^{\frac{9}{10}} a$ C、 $1 0^{- \frac{4}{5}} a$ D、 $1 0^{- \frac{9}{10}} a$

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8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ ，当且仅当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时等号成立．根据权方和不等式，函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{9}{1 - 2 x} (0 < x < \frac{1}{2})$ 的最小值为（）

A、16 B、25 C、36 D、49

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二、多选题

9. 设函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的导数存在，则 $- \frac{1}{2} f^{'} (2) =$ （）.

A、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{2 Δ x}$ B、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2) - f (2 + Δ x)}{2 Δ x}$ C、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2 - Δ x) - f (2)}{2 Δ x}$ D、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2) - f (2 - Δ x)}{2 Δ x}$

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10. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 $\frac{4}{5}$ ，女生喜欢抖音的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，若有 $95 %$ 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（）
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
$0.050$
$0.010$
$k_{0}$
$3.841$
$6.635$

A、 $25$ B、 $45$ C、 $60$ D、 $40$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1 ， 0) ， B (- 2 ， 0)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ ，则（）

A、 $C$ 的周长为 $4 π$ B、 $O P$ （ $O ， P$ 不重合时）平分 $∠ A P B$ C、 $△ A B P$ 面积的最大值为6 D、当 $A P ⊥ A B$ 时，直线 $B P$ 与轨迹 $C$ 相切

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m c o s x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则下列说法正确的是（）

A、当 $m = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增 B、当 $m = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ C、当 $m = - 1$ 时， $f^{'} (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上至少有一个零点 D、当 $m = - 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- \frac{3 π}{2} ， - π)$ 上不单调

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三、填空题

13. $(x - y)^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为.

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14. $\frac{2 c o s 50 ° - \sqrt{3} s i n 10 °}{c o s 10 °}$ 的值为.

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15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以 $A$ 表示事件“试验反应为阳性”，以 $C$ 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 $P (A | C) = 0.9$ ， $P (\bar{A} | \bar{C}) = 0.9$ .现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为 $0.01$ ，即 $P (C) = 0.01$ ，则 $P (C | A) =$ .

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16. 若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 满足 ${(b - a^{2} + l n a)}^{2} + (c - d - 2)^{2} = 0$ ，则 $(a - c)^{2} + (b - d)^{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足首项为 $l o g_{3} 15 - l o g_{3} 10 + \frac{1}{2} l o g_{3} 4$ 的值，且 $a_{3} + a_{7} = 18$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c o s B (\sqrt{3} a + b s i n C) + b s i n B c o s C = 0$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $2 c = a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱 $B B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求 $A_{1} E$ 与平面AEF所成角的正弦值；

(2)、过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 有且只有一条公共直线：
①这一结论可以通过空间中关于平面的一条基本事实（也称为公理）得出，请写出该基本事实的内容；
②求这条公共直线在正三棱柱底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内部的线段长度.

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20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.

(1)、求乙闯关成功的概率；

(2)、求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

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21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点 $A (- 1 ， \frac{3}{2})$ 关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；

(2)、设直线AP与BP分别与直线 $x = 3$ 交于M，N，问是否存在点P使得 $△ P A B$ 与 $△ P M N$ 面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - k x$ （ $k \in R$ ）， $g (x) = x (e^{x} - 2)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $g (x) - f (x) \geq 1$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.050$	$0.010$
$k_{0}$	$3.841$	$6.635$