人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——与二次函数相图像与坐标的交点问题

试卷更新日期：2022-09-26 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论： $① 2 a + b = 0$ ；②若 $m$ 为任意实数，则 $a + b \geq a m^{2} + b m$ ； $③ a - b + c > 0$ ； $④ 3 a + c < 0$ ； $⑤$ 若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2.$ 其中正确的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一个根为 $- \frac{1}{a}$ ，其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ 且经过点 $(2 ， 0) .$ 下列说法：
$① a b c < 0$ ； $② 4 a + 2 b + c < 0$ ； $③ - 2 b + c = 0$ ； $④$ 若 $(- \frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $⑤ \frac{1}{4} b > m (a m + b) ($ 其中 $m \neq \frac{1}{2}) .$ 其中说法正确的是（）

A、 $① ③ ④ ⑤$ B、 $① ② ④$ C、 $① ④ ⑤$ D、 $③ ④ ⑤$

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a + 1 (a > 0)$ 下列结论正确是（）
①已知点 $M (4 ， y_{1})$ ，点 $N (- 2 ， y_{2})$ 在二次函数的图象上，则 $y_{1} > y_{2}$ ；②该图象一定过定点 $(5 ， 1)$ 和 $(- 1 ， 1)$ ；③直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a + 1$ 一定存在两个交点；④当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 的最小值是 $a$ ，则 $a = \frac{1}{10}$ ；

A、①④ B、②① C、②④ D、①②③④

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5. 已知抛物线y=ax² +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ $\frac{4}{3}$ ， y₁）、C（ $\frac{1}{3}$ ， y₂）、D（ $- \frac{1}{3}$ ， y₃）是抛物线上的三点，则y₁<y₂<y₃.其中正确结论的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at²+bt≤a+b，其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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7. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ， y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ， y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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8. 已知二次函数y=x²−2x−3的自变量x₁ ， x₂ ， x₃对应的函数值分别为y₁ ， y₂ ， y₃.当−1<x₁<0，1<x₂<2，x₃>3时，y₁ ， y₂ ， y₃三者之间的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示.下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a - b + c > 0$ ；③ $m$ 为任意实数，则 $a + b > a m^{2} + b m$ ；④ $3 a + c < 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ .其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，图象经过点 $A (3 ， 0)$ ，二次函数的对称轴为 $x = 1$ ，给出下列结论： $① b^{2} > 4 a c$ ； $② b c < 0$ ； $③ 2 a + b = 0$ ； $④ a - b + c = 0$ ，其中正确的结论有（）

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ④$

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11. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与 $y$ 轴相交于负半轴．给出四个结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b > 0$ ；③ $a + c = 1$ ；④ $a > 1$ ．其中结论正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，抛物线 $y = {ax}^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线 $x = - 1$ ，并与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $OA = 3 OB$ ，则下列结论中： $① abc > 0$ ； $② {(a + c)}^{2} - b^{2} = 0$ ； $③ 3 a + 2 c < 0$ ； $④$ 若 $m$ 为任意实数，则 ${am}^{2} + b (m + 1) \geq a$ ，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的对称轴是 $x = - 1$ ，直线 $l ∥ x$ 轴，且交抛物线于点 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、 $b^{2} > - 8 a$ B、若实数 $m \neq - 1$ ，则 $a - b < a m^{2} + b m$ C、 $3 a - 2 > 0$ D、当 $y > - 2$ 时， $x_{1} \cdot x_{2} < 0$

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，与y轴交于 $(0 ， - 1)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ .下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a > \frac{1}{3}$ ；③对于任意实数m，都有 $m (a m + b) > a + b$ 成立；④若 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{2} ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ ；⑤方程 $| a x^{2} + b x + c | = k$ （ $k ⩾ 0$ ，k为常数）的所有根的和为4.其中正确结论有（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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15. 如图是二次函数图象的y=ax²+bx+c一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1。则以下结论错误的是（）

A、b²>4ac B、2a+b=0 C、a+b+c=0 D、5a<b

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16. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁ ， x₂如，其中﹣1＜x₁＜0，1＜x₂＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b²+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中结论正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，顶点坐标 $(1 ， n)$ ，与 $y$ 轴的交点在 $(0 ， 3)$ ， $(0 ， 4)$ 之间（包含端点），则下列结论正确的有． ① $3 a + b < 0$ ；② $- \frac{4}{3} \leq a \leq - 1$ ；③对于任意实数 $m$ ， $a + b \geq a m^{2} + b m$ 恒成立；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 5$ 有两个不相等的实数根．（填编号）

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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19. 关于抛物线 $y = x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - m$ ，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），给出下列4个结论：①当抛物线的顶点在y轴的正半轴上时， $m = \frac{1}{2}$ ；②点P在抛物线上，当符合条件 $S_{△ P A B} = a$ （a为常数）的点有3个时，则 $a = \frac{1}{8}$ ；③当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时，y＜0，；④已知C（0，2），D（0，4），当 $A C + B D$ 取最小值时， $m = \frac{2}{3}$ .其中正确结论的序号是.

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ .下列四个结论：
① $b > 0$ ；

②若 $m = \frac{3}{2}$ ，则 $3 a + 2 c < 0$ ；

③若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

④当 $a \leq - 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根.

其中正确的是（填写序号）.

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三、综合题

21. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $(- 1 ， m^{2} + 2 m + 1)$ ， $(0 ， m^{2} + 2 m + 2)$ 两点，其中 $m$ 为常数．

(1)、求 $b$ 的值，并用含 $m$ 的代数式表示 $c$ ；

(2)、若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴有公共点，求 $m$ 的值；

(3)、设 $(a ， y_{1})$ ， $(a + 2 ， y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上的两点，请比较 $y_{2} - y_{1}$ 与0的大小，并说明理由．

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22. 已知二次函数y=ax²-2ax+c（a>0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．

(1)、求抛物线的对称轴及c的值．

(2)、若该抛物线与直线y=x-2只有一个公共点．
①求a的值；

②若点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）在该抛物线上，当m-1≤x₁≤m+1，m+1≤x₂≤m+2时，均满足y₁≠y₂ ，求m的取值范围．

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23. 在直角坐标系中，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y=ax²+bx+1（a#0）的图象上．

(1)、若m=1，n=4，求二次函数的表达式及图象的对称轴．

(2)、若m-n= $\frac{1}{2}$ ，试说明二次函数的图象与x轴必有交点．

(3)、若点C（x₀ ， y₀）是二次函数图象上的任意一点，且满足y₀≤m，求mn的取值范围．

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24. 在平面直角坐标系内，设二次函数y₁＝(x－a)²＋a－1(a为常数).

(1)、若函数y₁的图象经过点(1，2)，求函数y₁的表达式.

(2)、若函数y₁的图象与一次函数y₂＝x＋b(b为常数)的图象有且仅有一个交点，求b的值.

(3)、已知(m，n)( m＞0)在函数y₁的图象上，当m＞2a时，求证：n＞ $- \frac{5}{4}$ .

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