高中数学人教A版（2019）必修二 6.2.4 向量的数量积

试卷更新日期：2022-09-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{m}$ ､ $\vec{n}$ 为非零向量，则“ $\vec{m} \cdot \vec{n} > 0$ ”是“ $< \vec{m} \cdot \vec{n} >$ 为锐角”的（）条件

A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4 \vec{b}) =$ （）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，则 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、36 B、48 C、57 D、64

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4. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{1}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，且 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则λ等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\pm \frac{3}{2}$ D、1

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为30°，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、7 C、 $\sqrt{7}$ D、3

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7. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为单位向量，它们的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3 ， B C = 4$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 6$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 10$ ，则 $A B =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{21}$ C、5 D、 $\sqrt{41}$

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10. 边长为1的等边三角形 $A B C$ 中，若 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

11. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{°}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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12. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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13. 已知等边三角形 $A B C$ 的边长为 $1 ， \vec{B D} = - 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D} =$ .

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14. 若单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为60°， $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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三、解答题

15. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ .

(1)、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + t \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数t的值.

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16. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足， $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ ，且 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = 6 0^{∘}$ .

(1)、求 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} |$ ；

(2)、设向量 $\vec{m} = \vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{n} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ，记 $θ = ⟨ \vec{m} ， \vec{n} ⟩$ ，求 $c o s θ$ 的值.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A C D = \frac{π}{2} ， D$ 是线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C} ， F$ 为线段 $A B$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的值；

(2)、求 $\vec{C F} \cdot \vec{F A}$ 的值.

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