高中数学人教A版（2019）必修二 6.2.3 向量的数乘运算

试卷更新日期：2022-09-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线 C、A，C，D三点共线 D、B，C，D三点共线

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2. 在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若 $\vec{C D} = \frac{1}{3} \vec{C A} + λ \vec{C B}$ ，则λ等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，M为BC的中点 $\vec{A C} = m \vec{A M} + n \vec{B D}$ ，则 $\frac{m}{n}$ =（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ”是“向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $k =$ （）

A、2 B、4 C、-4 D、-2

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6. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为基底向量，已知向量 $\vec{A B} = \vec{a} - k \vec{b}$ ， $\vec{C B} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ，若 $A ， B ， D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值等于（）

A、2 B、－2 C、10 D、－10

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7. 在△ABC中，点D在边BC上，且 $C D = 2 B D$ ， E是AD的中点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D A}$ ，若 $\vec{C B} = λ \vec{C A} + μ \vec{C D}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 在等腰梯形ABCD中， $\vec{A B} = - 2 \vec{C D}$ .M为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上一点，若 $\vec{A D} = 3 \vec{D B} ， \vec{C D} = \frac{1}{4} \vec{C A} + λ \vec{C B}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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11. $O$ 为平面上的一定点， $A ， B ， C$ 是平面上不共线的三个动点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) ， λ \in [0 ， + \infty)$ ，则 $P$ 的轨迹一定过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

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12. 已知点E是△ABC的中线BD上的一点（不包括端点）.若 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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二、填空题

13. 化简： $\frac{1}{2} (2 \vec{a} - \vec{b}) - 3 (\frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b}) + 2 (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ .

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 为线段 $D E$ 上的一点，且 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + λ \vec{A D}$ ，则实数 $λ =$ ．

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E D}$ ．若 $\vec{C E} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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16. 如下图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ .

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17. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ， $D$ 是 $B E$ 上的点，若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，则实数 $x$ 的值为．

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三、解答题

18. 已知非零向量 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 不共线．

(1)、如果 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 3 (\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}})$ ，求证：A，B，D三点共线；

(2)、欲使向量 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\frac{1}{4} \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 平行，试确定实数k的值．

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