2022-2023学年苏科版数学七上尖子生考点培优专题训练1 探索数与式的关系

试卷更新日期：2022-09-26 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 有一组数： $- \frac{1}{4} ， \frac{3}{9} ， - \frac{5}{16} ， \frac{7}{25} ， - \frac{9}{36} ...$ ，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（）

A、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n - 1}{n^{2}}$ B、 ${(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}}$ C、 ${(- 1)}^{n} \frac{2 n - 1}{{(n + 1)}^{2}}$ D、 ${(- 1)}^{n} \frac{2 n + 1}{n^{2}}$

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2. 观察下列两列数：
第一列：2，4，6，8，10，12，……

第二列：2，5，8，11，14，17，……

通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…….则第2022个相同的数在第一列中是第（）个

A、6062 B、6064 C、6066 D、6068

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3. 观察下列三行数：
第一行：2、4、6、8、10、12……
第二行：3、5、7、9、11、13……
第三行：1、4、9、16、25、36……
设x、y、z分别为第一、第二、第三行的第100个数，则 $2 x - y + 2 z$ 的值为（）

A、9999 B、10001 C、20199 D、20001

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4. 观察下列算式：2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，2⁶＝64，2⁷＝128，2⁸＝256…，则2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2²⁰²⁴的末位数字是（）

A、8 B、6 C、4 D、0

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5. 7²⁰²¹＋1的个位数字是（）

A、8 B、4 C、2 D、0

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6. 一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示的数为（）

A、－2022 B、2022 C、－1011 D、1011

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7. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）

A、110 B、158 C、168 D、178

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8. 如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的的第m行，是该行中的从左向右数的的第n个数，那么 $m + n$ 的值是（）

A、131 B、130 C、129 D、128

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9. 若a≠2，则我们把 $\frac{2}{2 - a}$ 称为a的“友好数”，如3的“友好数”是 $\frac{2}{2 - 3} = - 2$ ，﹣2的“友好数”是 $\frac{2}{2 - (- 2)} = \frac{1}{2}$ ，已知a₁＝3，a₂是a₁的“友好数”，a₃是a₂的“友好数”，a₄是a₃的“友好数”，……，依此类推，则a₂₀₂₁＝（）

A、3 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. “书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，请推断出5月30日可能是星期几（）

A、二、三、四 B、三、四、五 C、四、五、六 D、五、六、日

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二、填空题

11. 已知 $a_{1} = - \frac{3}{2} ， a_{2} = \frac{5}{5} ， a_{3} = - \frac{7}{10} ， a_{4} = \frac{9}{17} ， a_{5} = - \frac{11}{26} ， \dots ，$ 则 $a_{n} =$ ．

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12. 有一组数：（1，1，0），（2，4，7），（3，9，26），（4，16，63），…，按照其中的规律，第n组数为．

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13. 2021减去它的 $\frac{1}{2}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{3}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{4}$ ，…，以此类推，一直减到余下的 $\frac{1}{2021}$ ，则最后剩下的数是．

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14. 已知：
$1^{2} + 1^{2} \times 2^{2} + 2^{2} = 9 = 3^{2}$ ；

$2^{2} + 2^{2} \times 3^{2} + 3^{2} = 49 = 7^{2}$ ；

$3^{2} + 3^{2} \times 4^{2} + 4^{2} = 169 = 13^{2}$ ；

$4^{2} + 4^{2} \times 5^{2} + 5^{2} = 441 = 21^{2}$ ；

请根据以上规律填空： $20^{2} + 20^{2} \times 21^{2} + 21^{2} =$ .

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15. 已知2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，2⁶＝64……则2²⁰²⁰﹣2²⁰¹⁹的个位数字是．

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16. 若 $a_{1} = 1 - \frac{1}{4}$ ， $a_{2} = 1 - \frac{1}{a_{1}}$ ， $a_{3} = 1 - \frac{1}{a_{2}}$ ， $a_{4} = 1 - \frac{1}{a_{3}}$ ， ……，则 $a_{2021} =$ ．

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17. 一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条直线上运动，它先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走下去，则运动1小时时这只昆虫与A点相距米.

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18. 将一列有理数-1，2， -3，4， -5， 6，．．．．．．，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，-2021 应排在的位置．(用A、B、C ． D ． E填空)

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19. 观察下表，从左向右依次在每个小格子中填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15.已知第3个数为7，第5个数为 $a - 1$ ，第8个数为2，第10个数为 $3 - 2 a$ ，则第2022个数为.

7

$a - 1$

2

$3 - 2 a$

$\dots$

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20. 一质点 $P$ 从距原点1个单位的 $A$ 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 $O A$ 的中点 $A_{1}$ 处，第二次从 $A_{1}$ 点跳动到 $O A_{1}$ 的中点 $A_{2}$ 处，第三次从 $A_{2}$ 点跳动到 $O A_{2}$ 的中点 $A_{3}$ 处，如此不断跳动下去，则第7次跳动后，该 $A_{7} A$ 的长度为．

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三、解答题

21. 观察下面三行数，回答问题：
$- 2$ ， 4， $- 8$ ， 16， $- 32$ ， 64…
1，7， $- 5$ ， 19， $- 29$ ， 67…
2，5， $- 1$ ， 11， $- 13$ ， 35…

(1)、第①行数按什么规律排列，请用含n（n为正整数）的式子表示；

(2)、第②③行数与第①行数存在一定关系，计算这两行数的差（用含n的式子表示）．

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22. 观察下列各式：
1×5+4=3²…………①
3×7+4=5²…………②
5×9+4=7²…………③
……
探索以上式子的规律：

(1)、试写出第6个等式；

(2)、试写出第n个等式（用含n的式子表示），并用你所学的知识说明第n个等式成立．

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23. 有一列数，第一个数用 $a_{1}$ 表示，第二个数用 $a_{2}$ 表示，…，第n个数用 $a_{n}$ 表示，n为正整数；已知 $a_{1} = 1 + \frac{2}{1}$ ， $a_{2} = 1 + \frac{2}{2}$ ， $a_{3} = 1 + \frac{2}{3}$ ， $a_{4} = 1 + \frac{2}{4}$ ，…….

(1)、利用以上运算的规律，写出 $a_{n}$ =；

(2)、计算： $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots a_{100}$ 的值.

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24. 观察下列等式：
第一个等式： $2^{2} - 2^{1} = 4 - 2 = 2 = 2^{1}$ ；

第二个等式： $2^{3} - 2^{2} = 8 - 4 = 4 = 2^{2}$ ；

第三个等式： $2^{4} - 2^{3} = 16 - 8 = 8 = 2^{3}$ ；

……

(1)、请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式；

(2)、根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式；

(3)、请利用上述规律计算： $2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2020} + 2^{2021}$ ．

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25. 观察下列计算： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ，……，从计算结果中找规律，利用规律计算

(1)、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \dots \dots + \frac{1}{9900}$

(2)、 $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \dots \dots + \frac{1}{9999}$

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26. 观察算式：
$1 \times 3 + 1 = 4 = 2^{2}$ ； $2 \times 4 + 1 = 9 = 3^{2}$ ； $3 \times 5 + 1 = 16 = 4^{2}$ ； $4 \times 6 + 1 = 25 = 5^{2}$ ，…

(1)、请根据你发现的规律填空： $6 \times 8 + 1 =$ （）²；

(2)、用含n的等式表示上面的规律：；（n为正整数）

(3)、利用找到的规律解决下面的问题：
计算： $(1 + \frac{1}{1 \times 3}) \times (1 + \frac{1}{2 \times 4}) \times (1 + \frac{1}{3 \times 5}) \times \dots \times (1 + \frac{1}{98 \times 100})$ .

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27. 先观察下列各式，再完成题后问题：
$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ； $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ .

(1)、①写出： $\frac{1}{5 \times 6} =$ ；
②请你猜想： $\frac{1}{2018 \times 2020} =$ ；

(2)、求 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \dots + \frac{1}{(n - 1) \times n}$ 的值；

(3)、运用以上方法思考：求 $\frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60} + \frac{1}{84} + \frac{1}{112} + \frac{1}{144} + \frac{1}{180}$ 的值.

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28. 若x是不等于1的实数，我们把 $\frac{1}{1 - x}$ 称为x的差倒数，如2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ，-1的差倒数为 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ，现已知 $x_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $x_{2}$ 是 $x_{1}$ 的差倒数， $x_{3}$ 是 $x_{2}$ 的差倒数， $x_{4}$ 是 $x_{3}$ 的差倒数，…，依此类推.

(1)、分别求出 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的值；

(2)、计算 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$ 的值；

(3)、计算 $x_{1} x_{2} \dots x_{2019}$ 的值.

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29. 观察下列算式：
$1 \times 3 + 1 = 4 = 2^{2}$ ， $2 \times 4 + 1 = 9 = 3^{2}$ ， $3 \times 5 + 1 = 16 = 4^{2}$ ， $4 \times 6 + 1 = 25 = 5^{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，

(1)、请按上述规律填写：写出第6个式子：；

(2)、写出第 $n$ 个式子，.

(3)、计算： $(1 + \frac{1}{1 \times 3}) \times (1 + \frac{1}{2 \times 4}) \times (1 + \frac{1}{3 \times 5}) \times \cdot \cdot \cdot \times (1 + \frac{1}{98 \times 100})$

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30. 记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}$ ，令 $T_{n} = \frac{S_{1} + S_{2} + ⋯ + S_{n}}{n}$ ，我们称 $T_{n}$ 为这列数 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}$ 的“理想数”．例如： $S_{1} = a_{1}$ ，则 $T_{1} = a_{1}$ ， $S_{2} = a_{1} + a_{2}$ ，则 $T_{2} = \frac{S_{1} + S_{2}}{2} = \frac{a_{1} + a_{1} + a_{2}}{2} = \frac{2 a_{1} + a_{2}}{2}$ ．

(1)、请直接写出 $T_{3} =$ ．

(2)、如果 $T_{4} = 20$ ，那么 $4 a_{1} + 3 a_{2} + 2 a_{3} + a_{4} =$ ．

(3)、已知 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{500}$ 的“理想数”为2004，那么8， $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{500}$ 的“理想数”是多少？

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