江西省南昌市2022-2023学年高三上学期理数摸底测试（零模）试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 复数 $\frac{1}{1 + 2 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 2 \\ y - x \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. “ $a b > 0$ ”是“ $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出 $i$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 若直线 $x = 2 \sqrt{2} y - 3 \sqrt{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、－4

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 、 $A D$ 、 $D_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} B_{1}$ 的中点分别为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，则下列直线中，与两平面 $A C D_{1}$ 、 $B D C_{1}$ 交线平行的一条直线是（）

A、 $E H$ B、 $H G$ C、 $E G$ D、 $F H$

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8. 冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上， $60$ 名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈 $60$ 个时间刻度的行进轨迹．若以图中 $12$ 点与圆心连线为始边，某时刻指向第 $1$ ， $21$ ， $41$ 名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为 $α ， β ， γ$ ，则 $c o s α + c o s β + c o s γ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $c o s α$

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9. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 是奇函数， $f (2 x + 1)$ 是偶函数，则一定有（）

A、 $f (4) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (3) = 0$ D、 $f (5) = 0$

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10. 若 $2 x - 1 = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $4 π$ B、对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 5 π]$ 上恰好有三个零点 D、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数

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12. 若体积为 $8$ 的四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在表面积为 $20 π$ 的球面上，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则棱 $P A$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ 或 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{10}$ 或 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 3) ， \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = (x + a) s i n x$ 在 $x = π$ 时取得极值，则 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上的最小值为．

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15. 某工厂 $10$ 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是 $7$ ， $8$ ， $9$ ， $10$ ， $11$ ， $12$ ， $12$ ， $12$ ， $13$ ， $14$ ，则这组数据的方差为．（参考数据：这组数据的平方和为 $1212$ ）

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16. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径 $A B = 20 c m$ ，需要剪去四边形 $C E C_{1} D$ ，可以经过对折、沿 $D C ， E C$ 裁剪、展开就可以得到．

已知点 $C$ 在圆上且 $A C = 10 c m ， ∠ E C D = 3 0^{°}$ ．要使得镂空的四边形 $C E C_{1} D$ 面积最小， $A D$ 的长应为 $c m$ ．

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三、解答题

17. 已知公差大于0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{2 n - 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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18. 如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格．记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件 $A$ ．记抛掷骰子两次后，飞机到达2号格为事件 $B$ ．

(1)、求 $P (A B)$ ；

(2)、判断事件 $A ， B$ 是否独立，并说明理由；

(3)、抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体 $P A B D$ 和 $Q A B C$ ．

(1)、求证： $P Q ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $Q - A P - B$ 的余弦值．

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20. 已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个顶点．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $C$ ， $D$ ，与直线 $A B$ 交于点 $M$ ，求 $\frac{| P M |}{| P C |} + \frac{| P M |}{| P D |}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + (1 - a) x - l n a \cdot l n x (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = e$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) < 1$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2}{1 - s i n θ}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程，曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 的交点为 $A ， B$ ，求 $| A B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 6 | - | 3 x - 6 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \leq k | x |$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围

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