湖南省益阳市2022-2023学年高三上学期数学9月质量检测试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $a = 1$ ， $B = {0 ， 1 ， 2} .$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${x | - 2 < x < 2}$

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2. 命题“ $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使 $x^{2} + a x + c \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $x^{2} + a x + c \geq 0$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $x^{2} + a x + c < 0$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使 $x^{2} + a x + c \geq 0$ D、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ，使 $x^{2} + a x + c < 0$

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3. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的最小值为 $0$ D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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4. 若 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{6} x^{6}$ ， $x \in R$ ，则 $a_{2}$ 的值为（）

A、 $- 20$ B、 $20$ C、 $40$ D、 $60$

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5. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} E$ 与 $D B_{1}$ 相交 B、 $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ C、 $D_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ D、 $D_{1} E / /$ 平面 $B D C_{1}$

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6. 在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $O$ 是 $△ A B C$ 的中心， $P A = A B = 2$ ，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P A} =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} x ， (x > 1) \\ a x - 2 ， (x \leq 1) \end{array}$ ，对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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8. 有 $3$ 台车床加工同一型号的零件，第 $1$ 台加工的次品率为 $5 %$ ，第 $2$ ， $3$ 台加工的次品率均为 $3 %$ ，加工出来的零件混放在一起，第 $1$ ， $2$ ， $3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $15 %$ ， $25 %$ ， $60 % .$ 随机取一个零件，记 $A =$ “零件为次品”， $B_{i} =$ “零件为第 $i$ 台车床加工” $(i = 1 ， 2 ， 3)$ ，则下列结论：
① $P (A) = 0.033$ ，
② $\sum_{i = 1}^{3} P (B_{i}) = 1$ ，
③ $P (B_{1} | A) = P (B_{2} | A)$ ，
④ $P (B_{1} | A) + P (B_{2} | A) = P (B_{3} | A) .$
其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、多选题

9. 上级某部门为了对全市 $36000$ 名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本 $($ 数学水平分数 $)$ 数据进行整理分析，全部的分数可按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成 $5$ 组，得到如图所示的频率分布直方图 $.$ 则下列说法正确的是（）

A、图中 $x$ 的值为 $0.025$ B、估计样本数据的 $80 %$ 分位数为 $84$ C、由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于 $60$ 分的人数约为 $360$ D、由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数 $80$ 分及以上的人数占比为 $3 %$

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10. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 经过点 $P (2 \sqrt{2} ， 2)$ ，则（）

A、 $E$ 的实轴长为 $2$ B、 $E$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ C、 $E$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ D、 $E$ 的渐近线方程是 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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11. 已知随机变量 $X ∼ N (0 ， 1^{2})$ ，随机变量 $Y ∼ N (1 ， 2^{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (X \leq - 1) = P (X \geq 1)$ B、 $P (Y \leq - 1) = P (Y \geq 3)$ C、 $P (1 \leq X \leq 3) < P (1 \leq Y \leq 3)$ D、 $P (| X | \geq 2) > P (| Y | \geq 3)$

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12. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $2$ ，侧棱长为 $4$ ，点 $M$ 为侧棱 $C C_{1} ($ 含端点 $)$ 上的动点，若平面 $α$ 与直线 $A M$ 垂直，则下列说法正确的有（）

A、直线 $A A_{1}$ 与平面 $α$ 不可能平行 B、直线 $A D$ 与平面 $α$ 不可能垂直 C、直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值的取值范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、若 $M \in α$ 且 $C M = M C_{1}$ ，则平面 $α$ 截正四棱柱所得截面多边形的面积为 $2 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知 $(1 + i) z = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} =$ ．

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14. 若 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ ．

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15. 已知直线 $l ： y = k x + 1$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 交于A、 $B$ 两点， $P$ 为抛物线 $C$ 的准线上一点，且 $P A ⊥ P B$ ，过 $P$ 且垂直 $x$ 轴的直线交抛物线 $C$ 于点 $M$ ，交直线 $l$ 于点 $N$ ，若 $| A B | = 8$ ，则 $| M N | =$ ．

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16. 在单调递增数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2 n - 1}$ ， $a_{2 n}$ ， $a_{2 n + 1}$ 成等比数列， $a_{2 n}$ ， $a_{2 n + 1}$ ， $a_{2 n + 2}$ 成等差数列 $(n \in N^{*})$ ，那么 $a_{100} =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{3} = a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式 $；$

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{2 c o s B + c o s A}{2 s i n B - s i n A} = t a n$ A.

(1)、求 $C ；$

(2)、若 $a = 6$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求 $c$ 的值．

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19. 已知一个袋子里装有颜色不同的 $6$ 个小球，其中红球 $2$ 个，黄球 $4$ 个，现从中随机取球，每次只取一球．

(1)、若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球三次，至少两次取得红球”的概率 $；$

(2)、若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有红球或取球次数达到四次就终止取球，记取球结束时一共取球 $X$ 次，求随机变量 $X$ 的分布列与期望．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = P A = 1$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在棱 $P C$ 上，设 $C E = λ C P$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、若 $P D$ 与平面 $A E D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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21. 已知点 $F (- 2 ， 0)$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，过 $F$ 且垂直 $x$ 轴的直线 $l$ 交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ ，且 $| P Q | = \frac{10}{3}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程 $；$

(2)、四边形 $A B C D$ (A，D在 $x$ 轴上方 $)$ 的四个顶点都在椭圆 $E$ 上，对角线 $A C$ ， $B D$ 恰好交于点 $F$ ，若直线 $A D$ ， $B C$ 分别与直线 $l$ 交于 $M$ ， $N$ ，且 $O$ 为坐标原点，求证： $∠ M O F = ∠ N O F$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 1) - 2 x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 存在极大值为 $- 1$ ，求实数 $a$ 的值 $；$

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + e^{x}$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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