湖南省雅礼十六校2022-2023学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列不属于 ${(x - 2)}^{3}$ 的展开式的项的是（）

A、 $x^{3}$ B、 $6 x^{2}$ C、 $12 x$ D、 $- 8$

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2. 已知非空集合 $A = {x | f (x) \leq a} ， B = {x | f (f (x)) \leq a} ， a \in R$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ ，若满足 $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ C、 $[\frac{21}{16} ， + \infty)$ D、 $[\frac{13}{4} ， + \infty)$

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3. 已知复数 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ ， $z_{1}$ 与 $z_{3}$ 共轭， $\frac{z_{1} + 1}{z_{2} + 1} = a (a \in R)$ ， $| z_{1} - z_{2} | = 2 | z_{2} - z_{3} |$ 且 $| z_{i} + 1 | + | z_{i} - 1 | = 4 (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，则 $2 | z_{2} - z_{3} | + | z_{2} - 1 | + | z_{3} - 1 |$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 已知 $△ A B C$ 三边 $a ， b ， c$ 所对角分别为 $A ， B ， C$ ，且 $3 a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $t a n B - t a n A - 2 t a n A t a n^{2} B$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、以上选项均不正确

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5. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}} (\frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{n}}})$ ， $S_{100}$ 为 ${a_{n}}$ 前100项和，下列说法正确的是（）

A、 $\frac{7}{6} < S_{100} < \frac{6}{5}$ B、 $\frac{6}{5} < S_{100} < \frac{5}{4}$ C、 $\frac{5}{4} < S_{100} < \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3} < S_{100} < \frac{3}{2}$

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6. 长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛．这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：
罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；
魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；
贾老师：华一是第三名；
关老师：省实验不是第一名；
其中只有一位老师预测对了，则正确的是（）

A、罗老师 B、魏老师 C、贾老师 D、关老师

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7. 若 $a = \frac{1}{100} e^{5} ， b = \sqrt{e} ， c = l n 5$ ，（ $e = 2.71828 ⋯$ ）试比较 $a ， b ， c$ 的大小关系（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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8. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ ，若过点 $(2 ， 2)$ 能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率 $e$ 取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{21}}{3} ， + ∞)$ B、 $(1 ， \frac{\sqrt{21}}{3})$ C、 $(1 ， \sqrt{2})$ D、以上选项均不正确

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二、多选题

9. 某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为 $\frac{2}{3}$ ，游览B，C，D的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览景点的个数，下列说法正确的是（）

A、该游客至多游览一个景点的概率为 $\frac{1}{4}$ B、 $P (X = 2) = \frac{3}{8}$ C、 $P (X = 4) = \frac{1}{24}$ D、 $E (X) = \frac{13}{6}$

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10. 如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ．．． a_{n}$ ），则称其为可列集．下列集合属于可列集的有（）

A、 $N$ B、Z C、Q D、R

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11. 已知某四面体的四条棱长度为 $a$ ，另外两条棱长度为 $b$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 2$ 且该四面体的侧面存在正三角形，则 $b \in (\sqrt{6} - \sqrt{2} ， \sqrt{6} + \sqrt{2})$ B、若 $a = 3$ 且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积 $V_{1} \in (0 ， \frac{3 \sqrt{3}}{4}]$ C、若 $a = 4$ 且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积 $V_{2} \in (0 ， \frac{128 \sqrt{3}}{27}]$ D、对任意 $a > 1$ ，记侧面存在正三角形时四面体的体积为 $V_{1}$ ，记对棱均相等时四面体的体积为 $V_{2}$ ，恒有 ${(V_{1})}_{m a x} > {(V_{2})}_{m a x}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} + 2 x + 1 (a \in R)$ ，下列说法不正确的是（）

A、当 $a > - 3$ 时，函数 $f (x)$ 仅有一个零点 B、对于 $\forall a \in R$ ，函数 $f (x)$ 都存在极值点 C、当 $a = - 1$ 时，函数 $f (x)$ 不存在极值点 D、 $\exists a \in R$ ，使函数 $f (x)$ 都存在3个极值点

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三、填空题

13. 已知 $c o s (α + β) = c o s α + c o s β$ ，则 $c o s α$ 的最大值为．

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14. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，且 $| \vec{e_{1}} | = 1$ ， $| \vec{e_{2}} | = \sqrt{3}$ ，若 $λ \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ 与 $2 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点 $A ， B$ （ $A ， B$ 在同一象限内），且满足 $F_{1} A = A B$ ．联结 $A F_{2}$ ，满足 $A F_{2} ⊥ B F_{1}$ ．若该双曲线的离心率为 $e$ ，求 $e^{2}$ 的值．

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16. 若关于x的不等式 $l n x \leq \frac{1}{a} x^{2} - b x + 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 定义 $T_{n} (c o s θ) = c o s n θ (n \in N^{*})$

(1)、证明： $T_{n} (c o s θ) = 2 T_{n - 1} (c o s θ) c o s θ - T_{n - 2} (c o s θ)$

(2)、解方程： $8 x^{5} + 10 x^{3} - x^{2} - 12 x - 2 = 0 (x \in C)$

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18. 已知单调递减的正项数列 ${a_{n}}$ ， $n \geq 2$ 时满足 $a_{n}^{2} (a_{n - 1} + 1) + a_{n - 1}^{2} (a_{n} + 1) - 2 a_{n} a_{n - 1} (a_{n} a_{n - 1} + a_{n} + 1) = 0$ ． $a_{1} = \frac{1}{2} ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $S_{n} > 1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ .

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19. 如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形， $A B$ ∥ $C D$ ， $A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ， $P A ⊥ P B$ ．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

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20. 现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、求该组试验只需第一轮注射的概率（用含 $p$ 的多项式表示）；

(2)、记该组动物需要注射次数 $X$ 的数学期望为 $E (X)$ ，求证： $10 < E (X) < 10 (2 - p)$ ．

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21. 已知平面直角坐标系中有两点 $F_{1} (- 2 ， 0) ， F_{2} (2 ， 0)$ ，且曲线 $C_{1}$ 上的任意一点P都满足 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 5$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的轨迹方程并画出草图；

(2)、设曲线 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{k} + x^{2} = 1 (k > 1)$ 与 $C_{1}$ 交于顺时针排列的S、T、M、N四点，求 $| S T | \cdot | T M | \cdot | M N | \cdot | N S |$ 的值．（用含k的代数式表示）

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22. 已知函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x + c x$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，且 $f (x)$ 在R上单调递增，求 $c$ 的取值范围

(2)、若 $f (x)$ 图像上存在两条互相垂直的切线，求 $a + b + c$ 的最大值

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