福建省漳州市2022-2023学年高三上学期数学第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $B = {6 ， 7 ， 8}$ ，全集 $U = A \cup B$ ，则集合 $∁_{U} (A ∩ B)$ 中的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若复数 $z$ 满足 $z + i = z \cdot i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知 $p$ ： $x y > 0$ ， $q$ ： $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $⟨ \vec{a} - \vec{b} ， \vec{c} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知 $c o s (\frac{π}{4} - α) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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6. 已知 ${(a \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{5}$ （ $a$ 为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（）

A、 $-$ 90 B、 $-$ 10 C、10 D、90

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7. 设 $a = 5 s i n \frac{1}{5}$ ， $b = c o s \frac{1}{10}$ ， $c = 10 s i n \frac{1}{10}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知 $A$ ， $B$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点，若以 $A B$ 为直径的圆与直线 $2 x + y - 4 = 0$ 相切，则该圆面积的最小值为（）

A、 $\frac{π}{5}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、 $\frac{4 π}{5}$ D、 $π$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = t a n (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有三个零点 D、 $f (x)$ 的图象可以由 $g (x) = t a n 2 x$ 的图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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10. 已知椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的上下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $P$ 是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）

A、该椭圆的长轴长为 $\sqrt{2}$ B、使 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形的点 $P$ 共有6个 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为1 D、若点 $P$ 是异于 $A_{1}$ ､ $A_{2}$ 的点，则直线 $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率的乘积等于-2

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11. 如图，在多面体 $E F G - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ ， $C F G D$ ， $A D G E$ 均是边长为1的正方形，点 $H$ 在棱 $E F$ 上，则（）

A、该几何体的体积为 $\frac{2}{3}$ B、点 $D$ 在平面 $B E F$ 内的射影为 $△ B E F$ 的垂心 C、 $G H + B H$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ D、存在点 $H$ ，使得 $D H ⊥ B F$

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12. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + n + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + n ， n 为偶数 \end{array}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 6$ B、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n + 1)$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2} ， n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2} ， n 为偶数 \end{array}$ D、数列 ${(- 1)^{n} a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为 $n (n + 1)$

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三、填空题

13. 树人中学举办以“喜迎二十大､永远跟党走､奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是.

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14. 已知直线 $x + y + a = 0$ 是曲线 $x y - 1 = 0$ 的切线，则 $a =$ .

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ ，且 $| A B | = 8$ ，则该双曲线的离心率为.

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16. 已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为 $\frac{64}{3}$ ，则该球的表面积的最小值为.

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四、解答题

17. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1, a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设b_n＝log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a_n ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A P ⊥ B P$ ， $A P = B P$ ， $P D = \sqrt{6}$ .记平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线为 $l$ .

(1)、证明： $A B ∥ l$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的正弦值.

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19. 密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形 $A B C D$ （图2）中， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、若 $C D = 5$ ， $A D = 3$ ，求平面凹四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、若 $∠ A D C = 120 °$ ，求平面凹四边形 $A B C D$ 的面积的最小值.

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20. 漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲､乙､丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲､乙､丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲､乙､丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75（水仙花球茎的使用率 $= \frac{能使用的水仙花球茎数}{采摘的水仙花球茎总数}$ ）.

(1)、从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 过点 $P (0 ， 1)$ .

(1)、若 $l$ 与 $C$ 有且只有一个公共点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{| A P |}{| P B |} = \frac{| A Q |}{| Q B |}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) l n (x + 1) - λ x$ .

(1)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $λ$ 的最大值；

(2)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n} < l n 2$ .

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