安徽省江淮十校2022-2023学年高三上学期数学9月第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | l n x < 1} ， U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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3. 已知 $\frac{2 z - 1}{1 + \bar{z}} = i$ ，则复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、-1 B、 $- i$ C、1 D、 $i$

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4. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（）

A、大于10克 B、小于10克 C、等于10克 D、不能判断大小

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5. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{1} = \frac{1}{8} ， 2 a_{2} = S_{3} - 3 a_{1}$ ，则 $T_{n}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{128}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则下列判断错误的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A C B_{1}$ B、平面 $A_{1} C_{1} D$ ∥平面 $A C B_{1}$ C、直线 $B D_{1}$ 过 $△ A_{1} C_{1} D$ 的垂心 D、平面 $A C B_{1}$ 与平面 $A B C D$ 夹角为 $45 °$

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7. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左右焦点，点P为椭圆上一点，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与直线 $P F_{1}$ 恰好相切于点P，则 $∠ P F_{1} F_{2}$ 是（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 3) = - f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， \frac{3}{2}]$ 时， $f (x) = 2 x - 1$ ，则 $f (- 2021) + f (2022) + f (2024)$ 的值是（）

A、2 B、 $- 1$ C、0 D、 $- 3$

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9. 已知在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ A = 60 °$ ，把 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起到 $△ A^{'} B D$ 位置，若二面角 $A^{'} - B D - C$ 大小为 $120 °$ ，则四面体 $A^{'} B C D$ 的外接球体积是（）

A、 $\frac{7}{3} π$ B、 $\frac{28}{3} π$ C、 $\frac{28 \sqrt{21}}{27} π$ D、 $\frac{7 \sqrt{21}}{27} π$

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10. 下列四个不等式中，成立的个数是（）
① $l n 3 < \frac{3}{2} l n 2$ ；② $l n π < \sqrt{\frac{π}{e}}$ ；③ $4^{\sqrt{3}} < 12$ ；④ $e^{0.1} > \sqrt{1.2}$ ；

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 已知函数 $f (x) = c o s | x | - 2 | s i n x |$ ，以下结论正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、函数在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 单调递减 C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{5} ， 1]$ D、函数 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 内有6个零点

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12. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 $A_{1} ， A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B | A_{2}) = \frac{4}{11}$ B、事件 $A_{1}$ 与事件B相互独立 C、 $P (A_{3} | B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (B) = \frac{3}{10}$

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二、填空题

13. 在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为．

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14. 安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有种．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长 $F B$ 交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若 $| B C | = 2 | B N |$ ，则 $△ A F M$ 的面积为．

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16. 若不等式 $e^{x} \geq (a + 1) x + b$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $(a + 1) b$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3 ， 2 (a_{n + 1} + 1) = a_{n} + a_{n + 2} ， n \in N^{*}$ ．

(1)、证明数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、若 $c_{n} = 2 (a_{n} + n - \frac{5}{4})$ ，证明： $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + ⋯ + \frac{1}{c_{n}} < 1$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，且满足 $4 \sqrt{3} s i n B c o s C = 2 a - c$ ．

(1)、求角B．

(2)、若 $A C$ 边上的中线长为 $\frac{5}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积和周长．

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19. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点O为 $B C$ 的中点， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ， $B D ⊥ C D$ 且 $B D = C D = 1 ， A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $A O D$ ．

(2)、E为线段 $A C$ 上的点，若 $E D$ 与面 $B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $C E$ 的长度．

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20. 华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解 $4 \times 4$ 数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解 $4 \times 4$ 数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者．
参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， ⋯ ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 140$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 994$

(1)、小明一周训练成绩如表所示，现用 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ 作为经验回归方程类型，求出该回归方程．
第x（天）
1
2
3
4
5
6
7
用时y（秒）
105
84
49
39
35
23
15

(2)、小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(2 ， 2)$ ，且离心率为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线C的方程．

(2)、设直线l是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以 $A B$ 为直径的圆过坐标原点．

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22. 已知函数 $f (x) = x - 1 + \frac{a x^{2}}{e^{x}} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若 $g (x) = e^{x - 1} f (x - 1) + x (1 - l n x)$ 在 $x \in [1 ， + \infty)$ 时有两个零点，求实数a的取值范围．

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第x（天）	1	2	3	4	5	6	7
用时y（秒）	105	84	49	39	35	23	15