安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期数学第一次质量检查试卷

试卷更新日期：2022-09-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x ∣ - 3 < x < 3}$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} + x - 2 < 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 2 ， 1]$ B、 $(- 3 ， - 2] \cup [1 ， 3)$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $(- 3 ， - 2) \cup (1 ， 3)$

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2. 若 $a ， b \in R$ 且 $a b \neq 0$ ，则“ $\frac{a}{b} < 1$ ”是“ $a < b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2 ， | \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ 或 $6$ B、 $\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{6}$ C、 $3$ 或 $6$ D、 $\sqrt{6}$ 或 $3$

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4. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ，若 $f (0) = 3$ ，则 $f (2022) + f (2023) =$ （）

A、 $0$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $6$

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5. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全､农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量 $ξ$ （单位： $k g)$ 服从正态分布 $N (618 ， 2 0^{2})$ .已知 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ 时，有 $P (| X - μ | ⩽ σ) = 0.6827 ， P (| X - μ | ⩽ 2 σ) = 0.9545 ， P (| X - μ | ⩽ 3 σ) = 0$ .9973.下列说法错误的是（）

A、该地水稻的平均亩产量是 $618 k g$ B、该地水稻亩产量的方差是400 C、该地水稻亩产量超过 $638 k g$ 的约占 $31.73 %$ D、该地水稻亩产量低于 $678 k g$ 的约占 $99.87 %$

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6. 圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬 $32.9 2^{∘}$ ）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即 $∠ A B C$ ）约为 $33.6 5^{∘}$ ，夏至正午太阳高度角（即 $∠ A D C$ ）约为 $80.5 1^{∘}$ .圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即 $B D$ 的长）为7米，则表高（即 $A C$ 的长）约为（）（已知 $t a n 33.6 5^{∘} \approx \frac{2}{3} ， t a n 80.5 1^{∘} \approx \frac{29}{5}$ ）

A、 $4.36$ 米 B、 $4.83$ 米 C、 $5.27$ 米 D、 $5.41$ 米

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7. 过直线 $x + y = 5$ 上的点作圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 1 = 0$ 的切线，则切线长的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{6}$

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8. 为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）

A、2640 B、1440 C、2160 D、1560

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9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的一个截面经过顶点 $A ， C$ 及棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点 $K$ ，截面将正方体分成体积比为 $2 ： 1$ 的两部分，则 $\frac{A_{1} K}{K B_{1}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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10. 已知点 $F$ 是抛物线 $y = \frac{x^{2}}{4}$ 的焦点，过点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $A ， B$ 两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $R ， f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ，若对于任意的 $x \in R$ 都有 $f^{'} (x) + 4 x < 0$ ，则当 $α \in [0 ， 2 π]$ 时，不等式 $f (s i n α) - c o s 2 α < 0$ 的解集为（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6})$ B、 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{3})$ C、 $(0 ， \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6} ， 2 π)$ D、 $(0 ， \frac{π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3} ， 2 π)$

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12. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 上存在两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 到点 $P (\frac{a}{5} ， 0)$ 的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$

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二、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = \sqrt{3} + i$ ，则 $| z | =$ .

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14. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则取出的鞋子是一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的概率是.

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15. 有两个等差数列 $2 ， 6 ， 10 ， \dots ， 190$ 及 $2 ， 8 ， 14 ， \dots ， 200 ，$ 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 .

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16. 四面体 $D - A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的表面上， $A C = B C = A D = B D = 3$ ，当四面体 $D - A B C$ 的体积取最大值时，球 $O$ 的表面积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 为等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 2023$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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18. 记 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边为 $a ， b ， c$ ，已知 $s i n C = s i n A s i n B ， C D ⊥ A B$ 于 $D$ .

(1)、证明： $C D = c$ ；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} = \sqrt{5} a b$ ，求 $s i n C$ 的值.

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19. 文旅部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收入 $y$ （单位：万），得到以下数据：
月份 $x$
3
4
5
6
7
旅游收入 $y$
10
12
11
12
20
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，参考数据： $\sqrt{10} \approx 3.162$ .线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
临界值表：
$α$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

(1)、根据表中所给数据，用相关系数 $r$ 加以判断，是否可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系？若可以，求出 $y$ 关于 $x$ 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；

(2)、为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”.

喜欢
不喜欢
总计
男
100
女
60
总计
110

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20. 如图，在五面体 $A B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D E ， B C ⊥ C D ， B E ∥ C D$ ， $A C = B C = B E = 1 ， C D = A E = 2$ .

(1)、求棱 $A B$ 的长度；

(2)、求 $A B$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值.

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21. 在平面直角坐标系中，动点 $M (x ， y)$ 与定点 $F (5 ， 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l ： x = \frac{16}{5}$ 的距离的比是常数 $\frac{5}{4}$ ，设动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $P (2 ， 0)$ ，垂直于 $x$ 轴的直线与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，直线 $A P$ 和曲线 $C$ 交于另一点 $D$ ，求证：直线 $B D$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a l n x (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有2个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} | < \sqrt{1 - a}$ .

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月份 $x$	3	4	5	6	7
旅游收入 $y$	10	12	11	12	20

$α$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	喜欢	不喜欢	总计
男			100
女		60
总计	110