高中数学人教A版（2019）必修一 5.7 三角函数的应用

试卷更新日期：2022-09-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 电流强度 $I$ （安）随时间 $t$ （秒）变化的函数 $I = A \sin (ω t + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图像如图所示，则当 $t = \frac{1}{100}$ 秒时，电流强度是（）

A、10安 B、5安 C、 $5 \sqrt{3}$ 安 D、-5安

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2. 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定： $h = 2 s i n (\frac{π}{6} t + ϕ)$ ， $t \in [0 ， + \infty)$ ， $ϕ \in (- π ， π)$ .已知当 $t = 2$ 时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在 $t = 0$ 秒时h的值为（）

A、-2 B、2 C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3.
一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P_o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（　　）

A、 $h (t) = - 8 \sin \frac{π}{6} t + 10$ B、 $h (t) = - 8 \cos \frac{π}{6} t + 10$ C、 $h (t) = - 8 \sin \frac{π}{6} t + 8$ D、 $h (t) = - 8 \cos \frac{π}{6} t + 8$

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4. 如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 $120$ $m$ ，转盘直径为 $110 m$ ，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要 $30$ $m i n$ .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动 $t$ $m i n$ 后距离地面的高度为 $H$ $m$ ，则在转动一周的过程中，高度 $H$ 关于时间 $t$ 的函数解析式是（）

A、 $H = 55 c o s (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$ B、 $H = 55 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$ C、 $H = - 55 c o s (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$ D、 $H = - 55 s i n (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2}) + 65 (0 \leq t \leq 30)$

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5. 如图，一个半径为2的水轮，圆心 $O$ 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点 $P$ 到水面的距离 $y$ （米）与时间 $x$ （秒）满足 $y = A \sin (ω x + φ) + k$ （ $A > 0$ ），则（）

A、 $ω = \frac{2 π}{15}$ B、 $A = 3$ C、 $k = 2$ D、 $φ = 0$

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6.
夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（　　）

A、25℃ B、26℃ C、27℃ D、28℃

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7.
如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin( $\frac{π}{6}$ x+ $φ$ )+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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二、填空题

8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{5}) + \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ ，若 $ω = 2$ ，则函数 $y = | f (x) |$ 的最小正周期为.

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9.
如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin( $\frac{π}{6}$ x＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .

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10.
国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．

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三、解答题

11. 某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： $f (t) = 12 - 3 s i n (\frac{π}{12} t + \frac{π}{3})$ ， $t \in [0 ， 24)$ ．

(1)、求实验室这一天的最大温差；

(2)、若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？

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12. 如图，摩天轮的半径为 $40 m$ ， $O$ 点距地面的高度为 $50 m$ ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每 $2 \min$ 转一圈，摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点.

（Ⅰ）试确定点 $P$ 距离地面的高度 $h$ （单位： $m$ ）关于转动时间（单位： $\min$ ）的函数关系式；

（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点 $P$ 距离地面超过 $70 m$ ？

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13. 如图，一个轴心为 $O$ 的圆形筒车按逆时针方向每分钟转2圈.设筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$ (单位： $m$ )(在水面下则 $d$ 为负数)，若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $d$ 与时间 $t$ (单位： $s$ )之间的关系为 $d (t) = 4 s i n (ω t + φ) + 2 \sqrt{3} (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，求

(1)、筒车转了 $15 s$ 时，盛水筒 $P$ 到水面的距离；

(2)、盛水筒 $P$ 入水后至少经过多少时间出水？

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14. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A s i n (ω x + φ) + b$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）.

(1)、求这一天6~14时的最大温差；

(2)、写出这段曲线的解析式；

(3)、预测当天12时的温度（ $\sqrt{2} \approx 1.4$ ，结果保留整数）.

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15. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：

时刻	2：00	5：00	8：00	11：00	14：00	17：00	20：00	23：00
水深/米	7.0	5.0	3.0	5.0	7.0	5.0	3.0	5.0

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 $f (t) = A \sin (ω t + φ) + B (A ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 来描述.

(1)、根据以上数据，求出函数

f (t) = A \sin (ω t + φ) + B

的表达式；

(2)、一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00~24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？

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