上海市八校联考2023届高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-23 类型：开学考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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2. 在复平面内，复数z对应的点为 $(1 ， - 1)$ ，则 $z (1 + i) =$ ．

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3. 在 ${(\sqrt{x} - x)}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为．

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4. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ （m>0）的一条渐近线为 $\sqrt{3} x$ +my=0，则C的焦距为.

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5. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 、 $S_{2}$ 的等差中项， $S_{4} = 15$ ，则 $a_{1} =$ ．

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6. 已知直线 $l ： a x + b y = 1$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的一条对称轴，则ab的最大值为．

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7. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 2 ∠ A C B$ ， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线交于点D．若 $A B = \frac{5}{8} A C$ ，则 $c o s ∠ D C B$ 的值为．

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8. 已知 ${\vec{e}}_{1}$ 、 ${\vec{e}}_{2}$ 是单位向量，且 ${\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} = 0$ ，设向量 $\vec{a} = λ {\vec{e}}_{1} + μ {\vec{e}}_{2}$ ，当 $λ + μ = 2$ 时， $| \vec{a} - {\vec{e}}_{1} |$ 的最小值为．

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9. 若函数 $f (x) = | 2^{x} - a | - 1$ 的值域为 $[- 1 ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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10. 已知 $c o s (α + β) = c o s α + c o s β$ ，则 $c o s α$ 的最大值为．

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11. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为．

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12. 设函数 $f (x) = \sqrt{l n x + x - a}$ （ $a \in R$ ， e为自然对数的底数），若曲线 $y = c o s x$ 上存在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 使 $f (f (y_{0})) = y_{0}$ 成立，则a的取值范围是．

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二、单选题

13. 下列说法中正确的是（　　）

A、平行于同一直线的两个平面平行 B、垂直于同一直线的两个平面平行 C、平行于同一平面的两条直线平行 D、垂直于同一平面的两个平面平行

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14. 假设 $A$ ， $B$ 是两个事件，且 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $P (A B) \leq P (B | A)$ B、 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、 $P (B | A) = P (A | B)$ D、 $P (B) = P (B | A)$

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15. 已知二次函数 $f (x)$ 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则不等式 $g (x) > l o g_{2} x$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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16. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，则下列结论正确的个数有（）
① $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称；② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上是增函数；
③ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；④若 $f (x_{1}) f (x_{2}) = - \frac{27}{16}$ ，则 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{2 π}{3}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题

17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
$1.5 %$
$2 %$
$3 %$
$5 %$
$8 %$
$9 %$
$20 %$

(1)、从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；

(2)、从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．

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18. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F与抛物线 $C_{2}$ 的焦点重合， $C_{1}$ 的中心与 $C_{2}$ 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交 $C_{1}$ 于A，B两点，交 $C_{2}$ 于C，D两点，且 $| C D | = \frac{4}{3} | A B |$ ．

(1)、求 $C_{1}$ 的离心率；

(2)、若 $C_{1}$ 的四个顶点到 $C_{2}$ 的准线距离之和为 $12$ ，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的标准方程．

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19. 在如图所示的多面体中， $A B / / C D$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形， $A B = A E = 1$ ， $A D = C D = 2$ ．

(1)、求证：平面 $A B E / /$ 平面 $C D F$ ；

(2)、设半面 $B E F ∩$ 平面 $C D F = l$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求二面角 $B - l - C$ 的正弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x^{2} - x + 1)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在最小值，直接写出 $a$ 的取值范围.

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21. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 ${a_{n}}$ 为 $P$ 数列.

(1)、若 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + 2$ ，试判断 ${a_{n}}$ 是否是 $P$ 数列，并说明理由；

(2)、设数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{10}$ 是首项为 $- 1$ 、公差为 $d$ 的等差数列，若该数列是 $P$ 数列，求 $d$ 的取值范围；

(3)、设无穷数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ 、公比为 $q$ 的等比数列，有穷数列 ${b_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 是从 ${a_{n}}$ 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ，求 ${a_{n}}$ 是 $P$ 数列时 $a$ 与 $q$ 所满足的条件，并证明命题“若 $a > 0$ 且 $T_{1} = T_{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 不是 $P$ 数列”.

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年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
新能源汽车销量占比	$1.5 %$	$2 %$	$3 %$	$5 %$	$8 %$	$9 %$	$20 %$