辽宁省六校2022-2023学年高三上学期数学期初考试试卷

试卷更新日期：2022-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. $p ： \forall x \in R ， x^{2} \geq 0$ 的否定是（）

A、 $\neg p ： \forall x \in R ， x^{2} < 0$ B、 $\neg p ： \exists x \in R ， x^{2} \leq 0$ C、 $\neg p ：$ $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ D、 $\neg p$ ： $\forall_{x} \in R ， x^{2} \leq 0$

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2. 已知集合 $A = {- 3 ， 1 ， 2} ， B = {x \in N | x^{2} - x - 6 \leq 0}$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 3 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 3 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = 20 ，$ 则 $S_{15} =$ （）

A、150 B、120 C、75 D、60

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4. 在 $(1 - 2 x) (1 - x)^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、10 B、 $- 10$ C、30 D、 $- 30$

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b s i n x + c o s x (a ， b \in R)$ ，若 $f (\frac{π}{3}) = 1$ ，则 $f (- \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6. 若 $t a n (\frac{π}{4} - α) = - 2$ ，则 $\frac{s i n α}{s i n^{2} α c o s α + 3 c o s^{3} α} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $2$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 $l g P$ 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 $b a r$ ．下列结论中正确的是（）

A、当 $T = 220$ ， $P = 1026$ 时，二氧化碳处于液态 B、当 $T = 270$ ， $P = 128$ 时，二氧化碳处于气态 C、当 $T = 300$ ， $P = 9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态 D、当 $T = 360$ ， $P = 729$ 时，二氧化碳处于超临界状态

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足： $f (1) = \frac{1}{4}$ ， $4 f (x) f (y) = f (x + y) + f (x - y) (x ， y \in R)$ ，则 $\sum_{k = 0}^{2022} f (k) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{- 10 i}{2 + i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 B、复数 $z$ 的虚部为 $- 4$ C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = 2 - 4 i$ D、复数 $z$ 的模 $| z | = 2 \sqrt{5}$

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10. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下面四个说法，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{1}{2}]$ D、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则（）

A、直线 $B C_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成的角为 $9 0^{∘}$ B、直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成的角为 $9 0^{∘}$ C、点 $C$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $4 5^{∘}$

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12. 双曲线C的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 $F_{1}$ 作D的切线与C交于M，N两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (3 ， 4) ， | \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的过点 $M (1 ， 2)$ 的切线方程为.

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15. 过抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，则 $| A F | + 4 | B F |$ 的最小值为.

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16. 已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 2 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ， $b_{n} = l o g_{3} (a_{n} + 1)$ .

(1)、证明： ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、证明： $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}} < 1$ ．

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18. 在① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ， ② $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s C$ ，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，满足____(填写序号即可)．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．

(1)、求证：AB⊥A₁C；

(2)、求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值；

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20. 新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.

(1)、若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；

(2)、若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为 $X$ ，乙同学的两题得分为 $Y$ ，求 $X ， Y$ 的期望并判断谁的方案更优.

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21. 已知椭圆 $C$ 的两个焦点为 $(- 1 ， 0) ， (1 ， 0)$ ，点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 的斜率之和为0.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 的斜率.

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22. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + 1) - \frac{x}{e^{x}} - 2 (a \in R)$ ．

(1)、若 $g (x) = e^{x} \cdot f (x)$ ，讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围．

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