江苏省南京市六校2022-2023学年高二上学期数学期初联考试卷

试卷更新日期：2022-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. 过点 $A (2 ， 3)$ 且与直线 $l ： 2 x - 4 y + 7 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - 2 y + 4 = 0$ B、 $x - 2 y - 4 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $x + 2 y - 8 = 0$

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2. 已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则（）

A、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ，则 $n ∥ α$ B、若 $l ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ， $α ∩ γ = l$ ，则 $l ⊥ β$

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3. 如图，用K､A₁､A₂三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A₁､A₂至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K､A₁､A₂正常工作的概率依次是0.9､0.7､0.7，则系统正常工作（）

A、0.441 B、0.782 C、0.819 D、0.9

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4. 已知圆锥的表面积为 $6 π c m^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} c m$ B、 $\sqrt{2} c m$ C、 $\sqrt{3} c m$ D、 $2 \sqrt{3} c m$

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5. 点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为 $\frac{7}{2}$ ，则点P的坐标为（）

A、（4，0）或（10，0） B、（4，0）或（-10，0） C、（-4，0）或（10，0） D、（-4，0）或（11，0）

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6. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（）

A、A⊆D B、B∩D＝ $\emptyset$ C、A∪C＝D D、A∪B＝B∪D

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7. 若直线 $l ： y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个交点，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 ${b ∣ - 2 \sqrt{2} < b < 2 \sqrt{2}}$ B、 ${b ∣ 2 < b < 2 \sqrt{2}}$ C、 ${b ∣ 2 ⩽ b < 2 \sqrt{2}}$ D、 ${b ∣ b = \pm 2}$

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8. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $P (- 3 ， 0)$ 在圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 m x - 4 y + m^{2} - 12 = 0$ 内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若 $△ A B C$ 的面积的最大值为8，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(3 - 2 \sqrt{3} ， 1] \cup [5 ， 3 + 2 \sqrt{3})$ B、 $[1 ， 5]$ C、 $(3 - 2 \sqrt{3} ， 3 + 2 \sqrt{3})$ D、 $(- ∞ ， 3 - 2 \sqrt{3}) \cup (3 + 2 \sqrt{3} ， + ∞)$

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二、多选题

9. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、恰有1名女生和恰有2名女生 B、至少有1名男生和至少有1名女生 C、至少有1名女生和全是女生 D、至少有1名女生和全是男生

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10. 下列说法中，正确的有（）

A、直线 $y = a (x + 2) + 3$ $（ a \in R ）$ 必过定点（2，3） B、直线 $y = 2 x - 1$ 在y轴上的截距为 $- 1$ C、直线 $\sqrt{3} x - y + 2 = 0$ 的倾斜角为60° D、点（1，3）到直线 $y - 2 = 0$ 的距离为1

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11. 已知圆 $M ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，直线 $P A ， P B$ 分别于圆 $M$ 切于点 $A ， B$ .则下列说法正确的是（）

A、四边形 $P A M B$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 长为 $\sqrt{6}$ C、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 直线方程为 $x + y - 1 = 0$ D、直线 $A B$ 过定点 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$

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12. 点 $M$ 是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中侧面正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内的一个动点，正方体棱长为 $1$ ，则下面结论正确的是（）

A、满足 $M C ⊥ A D_{1}$ 的点 $M$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、点 $M$ 存在无数个位置满足直线 $B_{1} M / /$ 平面 $B C_{1} D$ C、在线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $B_{1} M$ 与 $C D$ 所成的角是 $3 0^{∘}$ D、若 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，平面 $A D_{1} E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成锐二面角的正切值为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为.

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14. 四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为.

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15. 在直线 $l ： 2 x - y + 1 = 0$ 上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为.

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16. 在平面直角坐标系xOy中，点 $A (- 2 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 1)$ ，若直线 $x + y - 2 m = 0$ 上存在点P使得 $P A = \sqrt{2} P B$ ，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (0 ， 4)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 2)$ ，求：

(1)、AB边中线所在的直线方程；

(2)、 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点E､F分别是棱PC和PD的中点.

(1)、求证：EF $∥$ 平面PAB；

(2)、若AP=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，求直线PB和平面ABCD所成角的正切值.

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19. 在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶.

(1)、求每对亲子获得飞机玩具的概率；

(2)、试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.

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20. 已知直线 $l ：$ $k x - y + 2 + k = 0$ $(k \in R)$ .

(1)、若直线不经过第四象限，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于 $B$ ， $△ A O B$ 的面积为 $S$ （O为坐标原点），求 $S$ 的最小值和此时直线 $l$ 的方程.

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21. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=2， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，点D为BC中点.

(1)、求证：平面 $A_{1} C B$ ⊥平面AC₁D；

(2)、求点C到平面AC₁D的距离.

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22. 已知 $⊙ C$ 的圆心在直线 $3 x - y - 3 = 0$ 上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1， $⊙ C$ 被直线l： $x - y + 3 = 0$ 截得的弦长为2.

(1)、求 $⊙ C$ 的方程；

(2)、设点D在 $⊙ C$ 上运动，且点 $T$ 满足 $\vec{D T} = 2 \vec{T O}$ ，（O为原点）记点 $T$ 的轨迹为 $E$ .
①求曲线 $E$ 的方程；
②过点 $M (1 ， 0)$ 的直线与曲线 $E$ 交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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