河北省三河市2023届高三上学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2022-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 4 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 4 ， 6}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $A ∩ B$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 已知虚数 $z = 1 + b i$ （ $b \in R$ ）满足 $(z - \bar{z}) i = 1 - z \bar{z}$ ，则 $b =$ （）

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1} + e^{x}$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 3 x + 1$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = \frac{5}{4} x + 1$ D、 $y = x + 1$

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4. 设某圆锥的底面半径和高分别为 $r$ 和 $h$ ，且 $r = \frac{3}{4} h$ ，它的体积是 $12 π$ ，则 $h =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 函数 $f (x) = c o s x \cdot l n \frac{π + x}{π - x}$ 在 $(- π ， π)$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. $5$ 名志愿者要到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少一名志愿者，若恰有两名志愿者取 $A$ 社区，则不同的安排方法共有（）

A、 $30$ 种 B、 $40$ 种 C、 $50$ 种 D、 $60$ 种

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7. 某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则（）

A、样本中 $A$ 层次的女生比相应层次的男生人数多 B、估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大 C、 $D$ 层次的女生和 $E$ 层次的男生在整个样本中频率相等 D、样本中 $B$ 层次的学生数和 $C$ 层次的学生数一样多

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8. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x ， y \in R$ ， $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (2) = - 1$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 4 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴方程为 $x = - \frac{π}{12}$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $\frac{5 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点 D、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = C D = \sqrt{2}$ ， $A D = B C = A C = B D = \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 外接球半径为 $\sqrt{6}$ D、异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，坐标原点为 $O$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于A， $B$ 两点（与 $O$ 均不重合），以线段 $A B$ 为直径的圆过原点 $O$ ，则 $△ A O B$ 与 $△ A O F$ 的面积之和可能为（）

A、 $17$ B、 $8 \sqrt{5}$ C、 $18$ D、 $9 \sqrt{3}$

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12. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) - f (x) = 2 x e^{x}$ ， $f (0) = 0$ ，则以下错误的有（）

A、 $f (x)$ 有唯一的极值点 B、 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 0)$ 上单调递增 C、当关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有三个实数根时，实数 $m$ 的取值范围为 $(0 ， 4 e^{- 1})$ D、 $f (x)$ 的最小值为 $0$

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三、填空题

13. 写出满足 $s i n α + c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的 $α$ 的一个值：.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{7}{9}$ ，若 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的对称点 $Q$ 在 $C$ 上，则 $C$ 的离心率为.

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16. “康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图， $△ A B C$ 的三条边长分别为 $| B C | = a$ ， $| A C | = b$ ， $| A B | = c$ ．延长线段 $C A$ 至点 $A_{1}$ ，使得 $| A A_{1} | = a$ ，延长线段 $A C$ 至点 $C_{2}$ ，使得 $| C C_{2} | = c$ ，以此类推得到点 $A_{2}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B_{2}$ ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知 $a = 12$ ， $b = 5$ ， $c = 13$ ，则由 $△ A B C$ 生成的康威圆的半径为．

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四、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $(b - c) (s i n B + s i n C) = (a + c) s i n A$ ．

(1)、求B；

(2)、若△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $b = \frac{\sqrt{3} (a + c)}{2}$ ，求△ABC的周长．

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18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1}$ ，且 $a_{1} \neq 0$ .

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、若 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} + b_{4} = 18 a_{1}$ ，求集合 ${k | a_{k} = b_{m} + 3 b_{1} ， 1 \leq m \leq 200}$ 中元素的个数.

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19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，答对每道冬奥知识题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每题答对与否不影响后续答题.

(1)、学生甲恰好答对两题的概率是多少？

(2)、求学生甲答对的题数 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，点 $E$ 是棱 $P A$ 上一点， $B E ⊥ P D$ ， $P A = P B = P D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ $= 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $C D ∥ A B$ ，求二面角 $A - P D - C$ 的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{2} x^{2}$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，对于函数 $G (x) = f (x) - 3 l n x$ ，存在 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使得 $G (x_{1}) - G (x_{2}) \geq m$ 成立，求满足条件的最大整数 $m$ ；（ $l n 2 \approx 0.693$ ）

(2)、设函数 $g (x) = \frac{2}{3} x^{3}$ ，若 $f (x) \leq g (x)$ 在 $[\sqrt{e} ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $P (3 ， - 1)$ 在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、点 $A$ ， $B$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M ， N$ 两点，点 $Q$ 在直线 $A B$ 上，若坐标原点 $O$ 为线段 $M N$ 的中点， $P Q ⊥ A B$ ，证明：存在定点 $R$ ，使得 $| Q R |$ 为定值.

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