河北省邯郸市2023届高三上学期数学摸底试卷

试卷更新日期：2022-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0} ， B = {x | l o g_{2} x \geq 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | 0 < x \leq 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 < x < 1$ 或 $x \geq 2}$

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2. 设复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $P (3 ， f (3))$ 处的切线方程是 $y = - 2 x + 7$ ，则 $f (3) - f^{'} (3) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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4. 某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的 $1.5$ 倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是（）

A、该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5 B、该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7 C、2022年该校本科达线人数增加了80% D、2022年该校不上线的人数有所减少

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 4 ， - 3) ， \vec{b} = (m ， 1)$ ，且夹角的余弦值为 $- \frac{3}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、 $- 1$ C、0或 $- \frac{24}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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6. “ $0 < x < 1$ ”是“ $x + \frac{1}{x + 1} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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7. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边， $S$ 表示 $△ A B C$ 的面积，其公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ .若 $b = \sqrt{2} ， \frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C} = \frac{c}{2 s i n A}$ ，则 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 从正方体的 $8$ 个顶点和中心中任选 $4$ 个，则这 $4$ 个点恰好构成三棱锥的概率为（）

A、 $\frac{41}{63}$ B、 $\frac{38}{63}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{7}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x)$ 的局部图像如图所示，下列函数 $f (x)$ 的解析式与图像符合的可能是（）

A、 $f (x) = \frac{4}{5} x^{2}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = x s i n x$ D、 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

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10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $2 ， P$ 为 $C$ 上一点，则（）

A、双曲线 $C$ 的实轴长为2 B、双曲线 $C$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ C、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2$ D、双曲线 $C$ 的焦距为4

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11. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则下列结论一定成立的是（）

A、若 $a_{1} = a_{5}$ ，则 $a_{1} = a_{2} = ⋯ = a_{n}$ B、若 $a_{5} > a_{3}$ ，则 $S_{1} < S_{2} < ⋯ < S_{n}$ C、若 $a_{3} = 2$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{5}^{2} ⩾ 8$ D、若 $a_{4} = 8 ， a_{8} = 4$ ，则 $S_{12} = 66$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $E$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，则（）

A、直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $B C$ 所成的角为 $3 0^{∘}$ B、对任意的点 $E$ ，都有 $B D ⊥$ 平面 $A C E$ C、存在点 $E$ ，使得平面 $A B E$ $∥$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ D、存在点 $E$ ，使得平面 $A B E ⊥$ 平面 $C D E$

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三、填空题

13. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线与圆 $C ： (x - a)^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $a =$ .

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14. 已知 $(x + 1) (x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{3}$ 的值为.

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15. 如图，在正四棱台 $A B C D - E F G H$ 中， $A B = 4 \sqrt{3} ， E F = 9 \sqrt{3}$ ，且四棱锥 $E - A B C D$ 的体积为48，则该四棱台的体积为.

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16. 设函数 $f (x) = s i n ω x + s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有3个极值点，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \sqrt{3} a c s i n B$ ；② $s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A = \sqrt{3} s i n B s i n C$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ， ____.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 8 ， b + c = 10$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{3} = 14 ， S_{6} = 126$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = (n - 1) a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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19. 暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二､高三随机抽取200名学生（该学校学生总数较多），调查日均晨读时间，数据如表：
日均晨读时间/分钟
$[0 ， 10)$
$[10 ， 20)$
$[20 ， 30)$
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60]$
人数
5
10
25
50
50
60
将学生日均晨读时间在 $[30 ， 60]$ 上的学生评价为“晨读合格”.

(1)、请根据上述表格中的统计数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？
项目
晨读不合格
晨读合格
合计
高二
高三
15
100
合计

(2)、将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的情况，现在从该校所有学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B = 2 A D = 2 D C ， A B ∥ D C ， A B ⊥ A D$ ，平面 $P C B ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $△ P C B$ 为正三角形，求二面角 $B - P A - C$ 的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上､顶点分别为 $M ， N ， △ N F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，四边形 $M F_{2} N F_{1}$ 的四条边的平方和为16.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $a > b > 1$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点 $H$ 在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，求证：线段 $A B$ 的垂直平分线与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 恒有两个交点.

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22. 已知函数 $f (x) = x - a l n x (a \neq 0)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = x e^{x} - a (l n x + x)$ ，且 $a > e$ ，证明： $g (x)$ 有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）

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日均晨读时间/分钟	$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60]$
人数	5	10	25	50	50	60

项目	晨读不合格	晨读合格	合计
高二
高三	15		100
合计

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$