广西桂林市联盟校2023届高三上学期理数9月入学统一检测试卷

试卷更新日期：2022-09-23 类型：开学考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z | \frac{x - 4}{x + 2} < 0}$ ， $B = {x \in Z | x^{2} - 7 x + 6 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，若 $\frac{a}{i^{2023}} + 2 = b + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{m} = λ \vec{n}$ ”是“ $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（）

A、11.5尺 B、12.5尺 C、13.5尺 D、14.5尺

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{(e^{x} - e^{- x}) s i n x}{2}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为（）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2

查看试题解析
7. 我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的 $n =$ （）

A、25 B、45 C、55 D、75

查看试题解析
8. 一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 $10 \sqrt{39}$ ，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $39 π$ B、 $50 π$ C、 $100 π$ D、 $125 π$

查看试题解析
9. 已知 $α ， β$ 满足， $t a n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3} ， t a n (\frac{π}{12} - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n (α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{9}{13}$ B、 $- \frac{13}{9}$ C、 $\frac{13}{9}$ D、 $\frac{9}{13}$

查看试题解析
10. 已知，点P是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点 $M (3 ， 4)$ ，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $2 \sqrt{5} + 1$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x - 1) (x \in R)$ 是偶函数，且函数 $f (x)$ 的图象关于点（1，0）对称，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = x - 1 ，$ 则 $f (2022) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

查看试题解析
12. 已知实数a，b满足 $a = l o g_{5} 12 + l o g_{121} 25$ ， $5^{a} + 1 2^{a} = 1 3^{b}$ ，则（）

A、 $a > b > 2$ B、 $b > a > 2$ C、 $a < b < 2$ D、 $b < a < 2$

查看试题解析

二、填空题

13. 曲线 $y = \frac{2 x + 3}{x + 3}$ 在点 $(- 2 ， - 1)$ 处的切线方程为.

查看试题解析
14. 在 $(x + \frac{2}{x})^{n}$ 的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为.

查看试题解析
15. 已知F是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点，A为椭圆 $C_{1}$ 的下顶点，双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ）与椭圆 $C_{1}$ 共焦点，若直线 $A F$ 与双曲线 $C_{2}$ 的一条渐近线平行， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{2}{e_{2}}$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} + (a + 2) x l n x + l n^{2} x$ 有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a^{2} - b^{2} + \frac{1}{2} b c = a c c o s B$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $b s i n A = \sqrt{3} s i n B$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

查看试题解析
18. 2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢游泳
不喜欢游泳
总计
男生
10
女生
20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ .
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (K^{2} \geq k)$
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$k$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、请将上述列联表补充完整；

(2)、判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

查看试题解析
19. 图1是由矩形 $A B G F$ ， $R t △ A D E$ 和菱形 $A B C D$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 2$ ， $A E = A F = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．将该图形沿 $A B$ ， $A D$ 折起使得 $A E$ 与 $A F$ 重合，连接 $C G$ ，如图2．

(1)、证明：图2中C，D，E，G四点共面；

(2)、求图2中二面角 $A - C E - D$ 的平面角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知P为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4 \sqrt{2}$ ，且椭圆离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求 $△ A F_{1} C$ 面积的最大值

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a x + l n x + 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)、若对任意的 $x > 0$ ， $f (x) \leq x e^{2 x}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
22. 已知直线 l 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} + 3 ρ^{2} s i n^{2} θ = 4$ ．

(1)、求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，求 $| M P | + | M Q |$ ．

查看试题解析
23. 已知函数 $g (x) = | x - 1 | + | x - 1 + t | (t \in R)$ ．

(1)、当 $t = 2$ 时，求 $g (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若存在实数x，使得 $g (x) < 4$ 成立，求实数t的取值范围．

查看试题解析

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	喜欢游泳	不喜欢游泳	总计
男生		10
女生	20
总计