山东省烟台市福山区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图，直线 $O A$ 过点 $(4 ， 3)$ ，则 $s i n α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 关于二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ 的图象，下列结论正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = 2$ C、顶点纵坐标是－3 D、当 $x < 0$ 时，函数值随 $x$ 值的增大而增大

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3. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）

A、 $\frac{B D}{B C}$ B、 $\frac{B C}{A B}$ C、 $\frac{A D}{A C}$ D、 $\frac{C D}{A C}$

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4. 用计算器求 $\sin 24 ° 3 7^{'}$ 的值，以下按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某同学在用描点法画二次函数y=ax²+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）

A、﹣11 B、﹣2 C、1 D、﹣5

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6. 在同一平面直角坐标系内，二次函数 $y = a x^{2} + b x + b (a \neq 0)$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知二次函数y＝2x²+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（）

A、y＝﹣x²+1 B、y＝﹣2x²+1 C、y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x²+1 D、y＝﹣4x²+1

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8. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S_△DEF ，那么你认为（）

A、S_△ABC >S_△DEF B、S_△ABC <S_△DEF C、S_△ABC=S_△DEF D、不能确定

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9. 将二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，则 $b$ 、 $c$ 的值为（）

A、 $b = 2$ ， $c = - 6$ B、 $b = - 6$ ， $c = 8$ C、 $b = - 6$ ， $c = 2$ D、 $b = 2$ ， $c = 0$

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10. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x²+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）

A、3m B、3.5m C、4m D、4.5m

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11. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 $s i n ∠ A C B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、无法求得

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12. 对称轴为直线x＝1的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b²＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

13. $\frac{1}{4} t a n 45 ° + c o s^{2} 45 ° - 2 s i n 60 ° \cdot c o s 30 ° =$ ．

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14. 已知二次函数y＝3x²＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为．

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15. 如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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16. 如图，一艘海轮位于灯塔 $C$ 的北偏东45方向，距离灯塔60海里的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $C$ 的南偏东 $30 °$ 方向上的 $B$ 处，则此时船距灯塔 $C$ 的距离为海里．（结果保留根号）

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17. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： $\sqrt{3}$ ，则斜坡AB的长是米．

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18. 二次函数 $y = \sqrt{3} x^{2}$ 的图象如图，点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ ， $C$ 在二次函数 $y = \sqrt{3} x^{2}$ 的图象上，四边形 $O B A C$ 为菱形，且 $∠ A C O = 120 °$ ，则菱形 $O B A C$ 的面积为．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x - y}{x + 2 y} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}} - 1$ ，其中 $x = t a n 60 ° + 1$ ， $y = 2 c o s 30 ° - 1$ ．

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20. 如图，有长为 $30 m$ 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 $a$ 为 $9 m$ ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽 $A B$ 为 $x m$ ，面积为 $S m^{2}$ ．

(1)、求 $S$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、如果围成花圃的面积为 $63 m^{2}$ ，那么 $A B$ 应确定多长？

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21. 如图，甲楼高 $40 m$ ，在甲楼楼顶 $D$ 处、楼底 $A$ 处分别测得乙楼楼顶 $B$ 处的仰角为 $30 °$ ， $60 °$ ． $D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $E$ ．求乙楼的高度 $B C$ ．

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22. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个 $18 °$ 俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得 $∠ B C D = 30 ° ， ∠ A P E = 90 °$ ，液晶显示屏的宽AB为 $34cm$ ．

(1)、求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到 $1cm$ ）

(2)、求显示屏项端A与底座C的距离AC．（结果精确到 $1cm$ ）（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.3 ， \cos 18 ° \approx 0.95 ， \sqrt{2} \approx 1.4 ， \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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23. 如图，已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P A B = ∠ A B C$ ，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

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24. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

(1)、当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)、当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?

(3)、当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m (k > 0)$ 交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，－1)，直线 $y = k x + m (k > 0)$ 与抛物线对称轴l交于点D．

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；

(3)、在（2）的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；

(4)、在（2）的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．

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x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	…
y	…	﹣11	﹣2	1	﹣2	﹣5	…