山东省潍坊市潍城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $2 x^{2} = x - 3$ 的二次项系数和常数项分别是（）

A、2，-3 B、2，3 C、-1，3 D、1，-3

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2. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ 都是锐角，且 $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $t a n B = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、不能确定

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3. 在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有 $x$ 名同学，那么依题意可列出的方程是（）

A、 $x (x - 1) = 30$ B、 $x (x + 1) = 30$ C、 $2 x (x - 1) = 30$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 30$

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4. 如图，点A，C，B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB= $α$ ，则 $α$ 的值为（）

A、135° B、100° C、110° D、120°

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5. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 为 $(0 ， 3)$ ，点 $B$ 为 $(2 ， 1)$ ，点 $C$ 为 $(2 ， - 3)$ ．则 $△ A B C$ 的外心坐标应是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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6. 如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 $6 \sqrt{2}$ 米，则斜坡AB的长度为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{5}$ D、24

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于⊙ $O$ ，连接 $B D$ ．若 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ， $∠ B D C = 50 °$ ，则 $∠ A D B$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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8. 在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的位置如图所示，点A的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，延长 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $A_{1}$ ，作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ ；延长 $C_{1} B_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ，作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} C_{1}$ ， …按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（）

A、 $5 \times {(\frac{3}{2})}^{2020}$ B、 $5 \times {(\frac{3}{2})}^{2021}$ C、 $5 \times {(\frac{3}{2})}^{4040}$ D、 $5 \times {(\frac{3}{2})}^{4042}$

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二、多选题

9. 如图， $∠ α$ 的顶点位于正方形网格的格点上，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则满足条件的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知，⊙ $O$ 的半径为5， $O P = 3$ ，某条经过点 $P$ 的弦的长度为整数，则该弦的长度可能为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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11. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，且 $A E = B F = 1$ ， $C E$ ， $D F$ 交于点 $O$ ．下列结论正确的有（）

A、 $∠ D O C = 90 °$ B、 $O C = O E$ C、 $t a n ∠ O C D = \frac{4}{3}$ D、 $S_{△ O D C} =$ S_四_边_形BEOF

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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ ，下列命题是真命题的有（）

A、若 $4 a + 2 b + c = 0$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有实数根 B、若 $b = 3 a + 2$ ， $c = 2 a + 2$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根 C、若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立 D、若 $t$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a t + b)}^{2}$

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三、填空题

13. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{1}{3}$ ， $B C = 2$ ，则 $A C =$ ．

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14. 关于x的一元二次方程（m﹣5）x²+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 36 °$ ，以 $C$ 为圆心， $C A$ 为半径的圆交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．求弧 $D E$ 所对的圆心角的度数．

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16. 如图，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $C$ 为坐标平面内一动点，且 $B C = 2$ ，点 $M$ 为线段 $A C$ 的中点，连接 $O M$ ，当 $A C$ 取最大值时，点 $M$ 的纵坐标为．

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四、解答题

17. 根据要求解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ （配方法）；

(2)、 $(x + 1) (x - 2) = 4$ （公式法）．

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18. 如图，一座圆弧形拱桥的跨度 $A B$ 为 $60 m$ ，拱高 $P M$ 为 $18 m$ ，请计算该圆弧形拱桥的半径是多少？

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + m^{2} + m = 2 m x + 1$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 11$ ，求实数 $m$ 的值．

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20. 如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层.某数学小组欲测量上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案.具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角a＝37°，光路AB长 $\frac{1000}{3}$ m，光路AB被写字楼BN楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到达上海中心大厦CM楼顶（视为点C）.已知写字楼与上海中心大厦的直线距离MN为576m（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线.求上海中心大厦的楼高CM（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.

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21. 随着全球疫情的扩散，疫苗需求仍存在较大缺口，某制药企业及时引进一条疫苗生产线生产新冠疫苗，开工第一天生产疫苗10000盒，第三天生产疫苗12100盒，若每天增长的百分率相同.

(1)、求每天增长的百分率.

(2)、经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产疫苗105000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

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22. 如图1，在⊙ $O$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A C B = 70 °$ ，点 $E$ 在劣弧 $A C$ 上运动，连接 $E C$ ， $B E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求 $∠ E$ 的度数；

(2)、当点 $E$ 运动到使 $B E ⊥ A C$ 时，连接 $A O$ 并延长，交 $B E$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，交⊙ $O$ 于点 $M$ ，依据题意在备用图中画出图形并证明： $G$ 为 $D M$ 的中点．

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23. 在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究.

(1)、初步尝试：我们知道：tan60°＝， tan30°＝，发现结论：tanA 2tan $\frac{1}{2}$ ∠A（填“＝”或“≠”）；

(2)、实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan $\frac{1}{2}$ ∠A的值；小明想构造包含 $\frac{1}{2}$ ∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝ $\frac{1}{2}$ ∠A，即转化为求∠D的正切值.
请按小明的思路进行余下的求解：

(3)、拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝ $\frac{1}{3}$ .
①tan2A＝ ▲ ；
②求tan3A的值.

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