山东省威海市文登区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 42 °$ ， $B C = 8$ ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）

A、 $8 \div \sin 42 ° =$ B、 $8 \div \cos 4 2 ° =$ C、 $8 \div \tan 42 ° =$ D、 $8 \times \tan 4 2 ° =$

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2. 用计算器求 $\sin 24 ° 3 7^{'}$ 的值，以下按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，将 $△$ ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则∠A的正切值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知二次函数 $y = (a - 1) x^{2}$ ，当 $x > 0$ 时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > 1$ C、 $a \neq 1$ D、 $a < 1$

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5. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

$x$

…

-2

0

1

3

…

$y$

…

6

-4

-6

-4

…

下列各选项中，正确的是

A、这个函数的图象开口向下 B、这个函数的图象与x轴无交点 C、这个函数的最小值小于-6 D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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6. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 在同一个坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， ∠ C = 60 ° ， A D ⊥ B C$ 于点D， $B D = \sqrt{3}$ .若E，F分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 将抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 6)$ D、 $(1 ， - 3)$

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9. 二次函数y＝x²+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x²+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）

A、﹣1≤t＜8 B、﹣1≤t＜3 C、t≥﹣1 D、3＜t＜8

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10. 如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= $\frac{1}{2}$ ， tanβ= $\frac{3}{2}$ ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系.若水面上升1m，水面宽为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2} \sqrt{3}$

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11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ ，且经过点 $(2 ， 0)$ ．下列说法：① $a b c < 0$ ；② $- 2 b + c = 0$ ；③ $4 a + 2 b + c < 0$ ；④若 $(- \frac{1}{2} ， y_{1})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；⑤ $\frac{1}{4} b + c > m (a m + b) + c$ （其中 $m \neq \frac{1}{2}$ ）．正确的结论有（）

A、②③④ B、①②⑤ C、①③⑤ D、①②④⑤

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C ， D E ⊥ A B ， C F ⊥ A B$ ，垂足分别为E，F，且 $A E = E F = F B = 5 cm$ ， $D E = 12 cm$ .动点P，Q均以 $1 cm / s$ 的速度同时从点A出发，其中点P沿折线 $A D - D C - C B$ 运动到点B停止，点Q沿 $A B$ 运动到点B停止，设运动时间为 $t (s)$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，则y与t对应关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 函数 $y = \frac{(x + 1)^{0}}{\sqrt{3 x - 1}}$ 的自变量x的取值范围是．

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14. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{12}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，过点A作 $A C ⊥ x$ 轴于点C， $A C$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点.若 $Δ P A B$ 的面积为2，则k的值为.

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15. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与它距离喷头的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间满足函数关系式 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ ，喷出水珠的最大高度是 $m$ .

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16. 如图， $△ A B C$ 的顶点 $B 、 C$ 的坐标分别是 $(1 ， 0) 、 (0 ， \sqrt{3})$ ，且 $∠ A B C = 90 ° ， ∠ A = 30 °$ ，则顶点A的坐标是.

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17. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ .第一步，在 $A B$ 边上找一点 $D$ ，将纸片沿 $C D$ 折叠，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，如图2，第二步，将纸片沿 $C A^{'}$ 折叠，点 $D$ 落在 $D^{'}$ 处，如图3.当点 $D^{'}$ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 $A^{'} D^{'}$ 的长为.

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18. 如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x²+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P(2018，m)与Q(2020，n)均在该波浪线上，则mn＝．

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三、解答题

19. ${(s i n 30^{o})}^{- 1} \times (s i n 60 ° - c o s 45 °) - \sqrt{{(1 - t a n 60 °)}^{2}}$

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20. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝ $\frac{4}{3}$ ，求四边形ABCD的面积．

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21. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $C (2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 4)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点A ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、将直线 $O A$ 向上平移m个单位后经过反比例函数，图象上的点 $(1 ， n)$ ，求m，n的值．

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22. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

(1)、求∠ABC的度数；

(2)、测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

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23. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．

(1)、设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

(2)、当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

(3)、如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

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24. 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面 $O B A$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $O A = 8 m$ ，桥拱顶点 $B$ 到水面的距离是 $4m$ .

(1)、按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)、一只宽为 $1 .2m$ 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$ 点 $0 .4m$ 时，桥下水位刚好在 $O A$ 处.有一名身高 $1.68 m$ 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；

(3)、如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，该抛物线在 $x$ 轴下方部分与桥拱 $O B A$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $8 \leq x \leq 9$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围.

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25. 如图所示，在坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ $\frac{3}{4}$ x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x+8经过A，C两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y＝kx（k＜0）交AC于点E，若PE：OE＝5：6，求k的值．

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$x$	…	-2	0	1	3	…
$y$	…	6	-4	-6	-4	…