山东省威海乳山市（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 3 {(x + 2)}^{2} - 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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2. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA= $\frac{1}{2}$ ， cosB= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则△ABC是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位： $Ω$ ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）

A、函数解析式为 $I = \frac{13}{R}$ B、蓄电池的电压是18V C、当 $I \leq 10 A$ 时， $R \geq 3.6 Ω$ D、当 $R = 6 Ω$ 时， $I = 4 A$

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4. 抛物线的函数表达式为 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$ ，若将 $x$ 轴向上平移2个单位长度，将 $y$ 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）

A、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} + 3$ C、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} - 1$ D、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} - 1$

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5. 某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）

A、 $\frac{5}{11 s i n α}$ 米 B、 $\frac{5}{11 c o s α}$ 米 C、 $\frac{11}{5 s i n α}$ 米 D、 $\frac{11}{5 c o s α}$ 米

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6. 抛物线 $y = x^{2} - b x + 9$ 的顶点在坐标轴上，则b的值为（）

A、6 B、±6 C、±6或0 D、0

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7. 点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ （ $k$ 为常数）的图象上，若 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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8. 如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东65°方向航行 $30 \sqrt{2} km$ 至 $B$ 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 $C$ 港， $C$ 港在 $A$ 港北偏东20°方向，则 $A$ ， $C$ 两港之间的距离为（） $km$ .

A、 $30 + 30 \sqrt{3}$ B、 $30 + 10 \sqrt{3}$ C、 $10 + 30 \sqrt{3}$ D、 $30 \sqrt{3}$

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9. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，则该抛物线关于点 $C$ 成中心对称的抛物线的表达式为（）

A、 $y = - x^{2} - 4 x + 5$ B、 $y = x^{2} + 4 x + 5$ C、 $y = - x^{2} + 4 x - 5$ D、 $y = - x^{2} - 4 x - 5$

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10. 如图，点A，B在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ （x＞0）的图象上，点C、D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＞0）的图象上，AC//BD//y轴，已知点A、B的横坐标分别为1、2，若△OAC与△ABD的面积之和为3，那么k的值是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、多选题

11. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论正确的是（）

A、足球距离地面的最大高度为20m B、足球飞行路线的对称轴是直线 $t = \frac{9}{2}$ C、足球被踢出9s时落地 D、足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m

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12. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．下列结论正确的是（）

A、 $3 a + c > 0$ B、 $4 a - 2 b + c < 0$ C、若 $(- \frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ D、关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 1$ 无实数根

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三、填空题

13. 在Rt△ABC中，∠C= $90 °$ ， $t a n A = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s B$ 的值为.

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14. 抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是.

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15. 如图，等边△ABO的顶点O与原点重合，点A的坐标是（-4，0），点B在第二象限．反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点B，则k的值是．

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16. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， $A B$ ， $B C$ 可分别绕点A，B转动，测量知 $B C = 8 cm$ ， $A B = 16 cm$ .当 $A B$ ， $B C$ 转动到 $∠ B A E = 60 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ 时，点C到 $A E$ 的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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17. 如图，将Rt△ABO放置在直角坐标系中，OB边与x轴重合，AO=10， $s i n ∠ A O B = \frac{3}{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x<0）的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则BD的长为．

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18. 如图，把抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²交于点Q，则图中阴影部分的面积为．

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四、解答题

19. 计算： $4 s i n 60 ° - | \sqrt{3} - 2 | + 202 0^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ .

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 和 $y = - 2 x$ 的图象相交于点 $A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ .

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、设一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的另一个交点为 $B$ ，连接 $O B$ ，求 $Δ A B O$ 的面积.

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21. 图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：

课题	测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图			如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 $B A$ ，在测点C用仪器测得点B的仰角为 $α$ ，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为 $β$ ，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上.
测量数据	$α$ 的度数	$β$ 的度数	$C E$ 的长度	仪器 $C D$ （ $E F$ ）的高度
测量数据	$31^{\circ}$	$42^{\circ}$	5米	$1.5$ 米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据： $\sin 31^{\circ} \approx 0.52$ ， $\cos 31^{\circ} \approx 0.86$ ， $\tan 31^{\circ} \approx 0.60$ ， $\sin 42^{\circ} \approx 0.67$ ， $\cos 42^{\circ} \approx 0.74$ ， $\tan 42^{\circ} \approx 0.90$ ）

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22. 某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品共需60元；购进2件甲商品和3件乙商品共需65元．

(1)、求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？

(2)、设甲商品的销售单价为x（单位：元/件）．在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x与y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元/件）
11
19
日销售量y（件）
18
2
若甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图，一艘渔船位于小岛 $B$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向，距离小岛 $40 n m i l e$ 的点 $A$ 处，它沿着点 $A$ 的南偏东 $15^{\circ}$ 的方向航行.

(1)、渔船航行多远距离小岛 $B$ 最近(结果保留根号)？

(2)、渔船到达距离小岛 $B$ 最近点后，按原航向继续航行 $20 \sqrt{6} n m i l e$ 到点 $C$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $B$ 上的救援队求救，问救援队从 $B$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？

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24. 如图，二次函数y=ax²+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为m（m>3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ=2PQ，求m的值．

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25. 如图1，点A（1，0），B（0，m）都在直线y＝﹣2x+b上，四边形ABCD为平行四边形，点D在x轴上，AD=3，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x>0）的图象经过点C．

(1)、求k的值；

(2)、将图1的线段CD向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段EF，线段EF和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x>0）的图象交于点M．
①在平移过程中，如图2，若点M为EF的中点，求△ACM的面积；
②在平移过程中，如图3，若AM⊥EF，求n的值．

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t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

销售单价x（元/件）	11	19
日销售量y（件）	18	2