山东省聊城市莘县2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法错误的是（）

A、有一个锐角相等的两个直角三角形相似 B、顶角相等的两个等腰三角形相似 C、任意两个菱形一定相似 D、位似图形一定是相似图形

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2. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶ $\sqrt{3}$ ，则AC的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ 米 B、12米 C、3 $\sqrt{3}$ 米 D、6 $\sqrt{3}$ 米

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4. 如图，点A，B，C均在⊙ $O$ 上，当 $∠ O A C = 40 °$ 时， $∠ B$ 的度数是（）

A、100° B、110° C、120° D、130°

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5.
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）

A、∠AED=∠B B、∠ADE=∠C C、 $\frac{A D}{A E}$ = $\frac{A C}{A B}$ D、 $\frac{A D}{A B}$ = $\frac{A E}{A C}$

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6. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 已知半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为（）

A、相切 B、相离 C、相切或相交 D、相切或相离

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8. 如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东55°方向的 $A$ 处，已知 $P A = 6$ 海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离 $A B$ 的长是（）

A、6海里 B、 $6 c o s 55 °$ 海里 C、 $6 s i n 55 °$ 海里 D、 $6 t a n 55 °$ 海里

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9. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（）

A、100° B、110° C、115° D、120°

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10. 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（）

A、8 B、12 C、16 D、2 $\sqrt{91}$

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11. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则 $S_{△ D E F} ： S_{△ O A B} =$ （）

A、1：4 B、1：5 C、1：6 D、1：7

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12. 如图，点E是 $△ A B C$ 的内心，连接AE并延长交BC于点F，交 $△ A B C$ 的外接圆于点D，连接BD．以下结论：①AE平分 $∠ B A C$ ；② $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{D C}$ ；③ $∠ D B C = ∠ B A D$ ；④ $B D = D E$ ；⑤ $D E^{2} = D F \cdot D A$ ，其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

13. 如图，在 $△ ABC$ 中， $DE / / BC$ ， $AD = 6$ ， $DB = 3$ ，则 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}$ 的值为．

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14. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $\frac{A C}{A B} = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n A =$ ．

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15. 如图，在半径为6的 $⊙ O$ 中，劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的度数是120°，则弦 $A B$ 的长是．

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16. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米．

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17. 如图，在△ABC中，CA＝CB ， ∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．

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三、解答题

18. 化简：

(1)、 $6 t a n^{2} 60 ° - c o s 30 ° \cdot t a n 30 ° - 2 s i n 45 ° + c o s 60 °$

(2)、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{12} + 3 t a n 30 ° - (π - 3) ° + | 1 - \sqrt{3} |$ ．

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19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、将 $△ A B C$ 向左平移2个单位再向上平移1个单位，平移后点A的对应点的坐标为， $△ A B C$ 内坐标为 $(a ， b)$ 的一点M平移后对应点的坐标为．

(2)、以原点为位似中心，将 $△ A B C$ 缩小，使变换后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 对应边的比为1：2，请在网格中的第三象限画出．

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20. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线， $D E ⊥ A B$ 于点E.

(1)、求证： $Δ B D E ∽ Δ C A D$ ；

(2)、若 $A B = 13$ ， $B C = 10$ ，求线段 $D E$ 的长.

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21. 如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．

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22. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝ $\frac{1}{4}$ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.

(1)、求证：△ABE∽△DEF；

(2)、若正方形的边长为8，求BG的长.

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23. 如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，且 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数为40°， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C D}$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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24. 如图，为加快 $5 G$ 网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2∶1的山腰上建了一座垂直于水平面的 $5 G$ 信号通信塔 $A B$ ，在距山脚 $C$ 处水平距离39米的点 $D$ 处测得通信塔底 $B$ 处的仰角是25°，通信塔顶 $A$ 处的仰角是42°．请求出通信塔 $A B$ 的大约高度（结果保留整数，参考数据： $s i n 25 ° \approx 0.4$ ， $t a n 25 ° \approx 0.5$ ， $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $t a n 42 ° \approx 0.9$ ）．

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25. 如图，AB为⊙ $O$ 的直径，C、D为⊙ $O$ 上的两点， $∠ B A C = ∠ D A C$ ，过点C作直线 $E F ⊥ A D$ ，交AD的延长线于点E，连接BC．

(1)、求证：EF是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $B C = 4$ ，求劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的长l．

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