山东省聊城市临清市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\frac{1}{3} \cos 30 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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2. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，直线 $A C$ 和 $D F$ 被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截，如果 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $E F = 4$ ，那么 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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3. 如图，在 $4 \times 5$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 $\sin ∠ A C B$ 的值为（）．

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S_△_DEF：S_△_ABF=4：25，则DE：EC=（）

A、2：5 B、2：3 C、3：5 D、3：2

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5. 如图，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡比为 $1$ ： $\sqrt{3}$ ，坝高 $B C = 3$ m，则 $A B$ 的长度为（）

A、6m B、 $3 \sqrt{3}$ m C、9m D、 $6 \sqrt{3}$ m

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6. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，OB＝4，则AB的长为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、4 C、6 D、4 $\sqrt{3}$

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7. 如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（）

A、80° B、75° C、70° D、65°

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8. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 $\frac{1}{2}$ ，得到△COD，则CD的长度是（）

A、1 B、2 C、2 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 正三角形内切圆与外接圆半径之比为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $Δ A O B$ 为 $R t Δ$ ，点A的坐标是 $(1 ， 0)$ ， $∠ B A O = 60 °$ ，把 $R t Δ A O B$ 绕点A按顺时针方向旋转 $90 °$ 后，得到 $R t Δ A O^{'} B^{'}$ ，则 $R t Δ A O^{'} B^{'}$ 的外接圆圆心坐标是（）

A、 $(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1 + \sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

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12. 2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂 $C D$ 长2米，且与灯柱 $B C$ 成 $120 °$ 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 $D O$ 与灯臂 $C D$ 垂直，当灯罩的轴线 $D O$ 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 $B C$ 高度应该设计为（）

A、6米 B、 $(8 \sqrt{3} - 2)$ 米 C、 $(8 - 2 \sqrt{3})$ 米 D、 $(8 \sqrt{3} - 4)$ 米

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二、填空题

13. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $c o s A = \frac{3}{4}$ ，那么AB的长为．

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14. 如图， $∠ A C B = 30 °$ ，点 $O$ 是 $C B$ 上的一点，且 $O C = 6$ ，则以4为半径的 $⊙ O$ 与直线 $C A$ 的公共点的个数．

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15. 如图，P是⊙O外一点，过P引⊙O的切线PA、PB，若∠APB＝50°，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的度数为．

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16. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 $D E = 30 c m$ ， $E F = 15 c m$ ，测得边DF离地面的高度 $A C = 120 c m$ ， $C D = 600 c m$ ，则树AB的高度为cm.

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M₁ ， N₁ ， P₁分别在AC，BC，AB上，且四边形M₁CN₁P₁是正方形，点M₂ ， N₂ ， P₂分别在P₁N₁ ， BN₁ ， BP₁上，且四边形M₂N₁N₂P₂是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn_﹣₁Nn_﹣₁ ， BNn_﹣₁ ， BPn_﹣₁上，且四边形MnNn_﹣₁NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是．

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三、解答题

18. 计算：

(1)、2sin30°+4cos30°⋅tan60°﹣cos²45°；

(2)、sin²30°+cos²30°+ $\sqrt{2}$ cos60°tan45°．

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19. 如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）.

(1)、以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ；

(2)、若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是；

(3)、求出变化后△OBꞌCꞌ的面积.

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20. 如图，在⊙O中，AC $∥$ OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数.

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点， $E F ⊥ A E$ 交 $C D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $Δ A B E ∼ Δ E C F$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B C = 8$ ，求 $E F$ 的长.

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22. 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，若AB=2 $\sqrt{2}$ ，求AC的长．

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23. 某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到公路AC的距离．（参考数据：sin73.7°≈ $\frac{24}{25}$ ， cos73.7°≈ $\frac{7}{25}$ ， tan73.7°≈ $\frac{24}{7}$ ）

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24. 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于E．

(1)、求证：ED是⊙O的切线；

(2)、若ED，AB的延长线相交于F，且AE＝5，EF＝12，求⊙O的半径．

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25. 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．

(1)、如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C．

(2)、如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．

(3)、如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长．

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