山东省济南市济阳区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-09-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列关于 $x$ 的方程是一元二次方程的是（）.

A、 $a x^{2} + b x + c = 0$ B、 $x^{2} + 2 x = \frac{1}{x}$ C、 $x^{2} - 2 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} = 1$

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、对角线相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，配方后所得的方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = - 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} = - 4$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 4$

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4. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 $\frac{3}{8}$ ，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是（）．

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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5. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）

A、4.5米 B、6米 C、3米 D、4米

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6. 线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（）

A、5﹣ $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、15﹣3 $\sqrt{5}$ D、5 $\sqrt{5}$ ﹣5

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $E F // C D$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，如果 $E F = 5.5$ ，那么菱形 $A B C D$ 的周长是（）

A、11 B、22 C、33 D、44

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8. 朝阳文具店二月销售签字笔40支，三月、四月销售量连续增长，四月销售量为90支，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意可列方程为（）

A、40(1＋x²)＝90 B、40(1＋2x)＝90 C、40(1＋x)²＝90 D、90(1－x)²＝40

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9. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 $\frac{B D}{A D}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ -1 D、 $\sqrt{2}$ +1

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10. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种频率结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）

A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C、在“石头剪刀、和”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D、袋子中有1个红球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球

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11.
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（　　）

A、1.6 B、2.5 C、3 D、3.4

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 5$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $B C$ 、 $A C$ 上， $C D = 2 B D$ ， $C E = 2 A E$ ， $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，则 $△ A F E$ 面积的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 若 $\frac{x}{y}$ = $\frac{2}{5}$ ，则 $\frac{x + y}{y}$ = ．

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14. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是.

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15. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 3 = 0$ 有一个根为1，则k的值是．

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16. 如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为．

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17. 如图，某小区计划在一块长为 $32 m$ ，宽为 $20 m$ 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 $570 m^{2}$ ，则道路宽 $x$ 为 $m$ ．

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18. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点 $(a ， b)$ ，若规定以下两种变换：
⑴ $f (a ， b) = (- a ， b)$ ．如： $f (1 ， 3) = (- 1 ， 3)$ ；
⑵ $g (a ， b) = (b ， a)$ ．如： $g (1 ， 3) = (3 ， 1)$ ；
按照以上变换有： $f (g (2 ， - 3)) = f (- 3 ， 2) = (3 ， 2)$ ，那么 $g (f (3 ， - 5))$ 等于．

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ．

(2)、 $x (x - 3) = x$

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20. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE．

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21. 如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA︰OD=OB︰OC=3︰1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？

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22. 如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

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23. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了增加销量，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．

(1)、若降价3元，则平均每天销售数量为件；

(2)、当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

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24. 为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
竞赛成绩统计表（成绩满分100分）
组别
分数
人数
A组
$75 < x \leq 80$
4
B组
$80 < x \leq 85$
C组
$85 < x \leq 90$
10
D组
$90 < x \leq 95$
E组
$95 < x \leq 100$
14
合计

(1)、本次共调查了名学生；C组所在扇形的圆心角为度；

(2)、该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

(3)、若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E₁ ， E₂ ， E₃ ， E₄ ，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 的概率．

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25. 问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ，点E，F分别是BC，CD上的点，且 $∠ E A F = 60 °$ ，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．

(1)、探究发现：小明同学的方法是将 $△ A B E$ 绕点A逆时针旋转120°至 $△ A D G$ 的位置，使得AB与AD重合，然后证明 $△ A G F ≌ △ A E F$ ，从而得出结论：；

(2)、拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且 $∠ E A F = 45 °$ ，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．

(3)、尝试应用：在（2）的条件下，若 $B E = 3$ ， $D F = 2$ ，求正方形ABCD的边长．

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26. 如图

(1)、问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当 $∠ D P C = ∠ A = ∠ B = 90 °$ 时，求证： $A D \cdot B C = A P \cdot B P$ ．

(2)、探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

(3)、应用
如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ，以点A为直角顶点作等腰 $R t △ A D E$ ．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且 $∠ E F D = 45 °$ ，若 $C E = \sqrt{5}$ ，求CD的长．

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组别	分数	人数
A组	$75 < x \leq 80$	4
B组	$80 < x \leq 85$
C组	$85 < x \leq 90$	10
D组	$90 < x \leq 95$
E组	$95 < x \leq 100$	14
合计