内蒙古自治区赤峰市松山区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} - 8 = 0$ 的解为（）

A、 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = - 4$ B、 $x_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $x_{2} = - 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2 \sqrt{2}$ D、 $x = 2 \sqrt{2}$

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2. 若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx²+m的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x²+x+a²﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A、1 B、﹣1 C、1或﹣1 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(1 ， - 2)$

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6. 学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（）

A、9% B、8.5% C、9.5% D、10%

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7. 若 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 3 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 为二次函数 $y = x^{2} + 4 x - 5$ 的图象上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是 $()$ ．

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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8. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b²；②方程ax²＋bx＋c＝0的两个根是x₁＝－1，x₂＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为 $\frac{1}{2}$ 米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（）

A、y＝－(x－ $\frac{1}{2}$ )²＋3 B、y＝－3(x+ $\frac{1}{2}$ )²+3 C、y＝－12(x- $\frac{1}{2}$ )²＋3 D、y＝－12(x+ $\frac{1}{2}$ )²+3

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10. 把边长为3的正方形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转45°得到正方形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ，边 $B C$ 与 $D^{'} C^{'}$ 交于点O，则四边形 $A B O D^{'}$ 的周长是（）

A、6 B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 + 3 \sqrt{2}$

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11. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转到△OA'B'，点B恰好落在边A'B'上．已知AB＝4cm，BB'＝1cm，则A'B的长是（）

A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm

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12. 已知关于x的方程x²+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、m＝1 B、m≥1 C、m＜1 D、m＜1且m≠0

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13. 如图，在长 $70 m$ ，宽 $40 m$ 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的 $\frac{1}{7}$ ，则路宽 $x m$ 应满足的方程是（）.

A、 $(40 - x) (70 - x) = 400$ B、 $(40 - 2 x) (70 - 3 x) = 400$ C、 $(40 - x) (70 - x) = 2400$ D、 $(40 - 2 x) (70 - 3 x) = 2400$

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14. 如图，D、E是等边 $△ A B C$ 的BC边和AC边上的点， $B D = C E$ ， AD与EE相交于P点，则 $∠ A P E$ 的度数是（）

A、45° B、55° C、60° D、75°

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二、填空题

15. 将抛物线 $y = a x^{2} + b x - 1$ 向上平移3个单位长度后，经过点 $(- 2, 5)$ ，则 $8 a - 4 b - 11$ 的值是．

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16. 已知p，q是方程 $x^{2} + 4 x - 7 = 0$ 的两根，则代数式 $\sqrt{p^{2} + q^{2} + 3 p q}$ 的值为．

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17. 已知x能使得 $\sqrt{x + 1}$ + $\sqrt{2 - x}$ 有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第象限．

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18. 某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \cdot \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$

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20. 作图并完成解答：

(1)、在平面直角坐标系中，点A的坐标是 $(0 ， 2)$ ，在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：①连接AM，作线段M的垂直平分线 $l_{1}$ ，（要求尺规作图，保留作图痕迹）过M作x轴的垂线 $l_{2}$ ，记 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点为P．②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．

(2)、对于曲线上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是 $(x ， y)$ ，求y与x的函数关系式．

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21. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、用配方法将解析式化为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、求这个函数图象与x轴的交点坐标．

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22. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当每件售价定多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？

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23. 已知关于x的方程 $m x^{2} + x + 1 = 0$ ，试按要求解答下列问题：

(1)、当该方程有一根为1时，试确定m的值；

(2)、当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．

(3)、若m是符合条件的最大整数，求此时方程的根．

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24. 阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一.在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决.如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的.由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.

利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）.解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程.由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验.

例如：解方程 $\sqrt{x^{2} + 12} = 2 x$

解：两边平方得： $x^{2} + 12 = 4 x^{2}$

解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$

经检验， $x_{1} = 2$ 是原方程的根，

$x_{2} = - 2$ 代入原方程中不合理，是原方程的增根.

∴原方程的根是 $x = 2$ .

解决问题：

(1)、填空：已知关于x的方程 $\sqrt{3 x - a} = x$ 有一个根是 $x = 1$ ，那么a的值为；

(2)、求满足 $\sqrt{x + 6} = x$ 的x的值；

(3)、代数式 $\sqrt{x^{2} + 9} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 9}$ 的值能否等于8 ? 若能，求出 $x$ 的值；若不能，请说明理由.

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25. 如图1，点O为正方形ABCD的中心．

(1)、将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；

(2)、根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；

(3)、如图2，点G是OA中点， $△ E G F$ 是等腰直角三角形，H是EF的中点， $∠ E G F = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $G E = 2$ ， $△ E G F$ 绕G点逆时针方向旋转 $α$ 角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．

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26. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C(8，0)两点，AB∥x轴，B(6，4)．

(1)、求过B，C两点的抛物线y＝ax²＋bx＋4的表达式；

(2)、点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；

(3)、若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．

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