江西省南昌市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 方程 $(x + 1) (x - 2) = 0$ 的两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 2$

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2. 方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ B、 $x_{1} + x_{2} = 2$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} + x_{2} = - 2$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ D、 $x_{1} + x_{2} = - 2$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = - 1$

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3. 二次函数 $y = 3 x^{2} + 2 x + 1$ 与 $y$ 轴的交点坐标是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(0 ， - 1)$

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4. 二次函数y＝3(x－2)²－1的图像顶点坐标是（）

A、（－2，1） B、（－2，－1） C、（2，1） D、（2，－1）

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5. 在《今日头条》的每一篇文章最后都有如下图标：

其中属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 点 $P (2 ， 3)$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的点 $P$ 坐标是（）

A、 $(- 2 ， - 3)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(2 ， - 3)$

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二、填空题

7. 若 $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 1)^{2} + n$ ，则n＝．

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8. 《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长 $3$ 尺），牵着绳索退行，在距木柱底部 $8$ 尺处时而绳索用尽．设绳索长为 $x$ 尺，则根据题意可列方程为．

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9. 抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移1个单位，所得抛物线解析式是．

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10. 表格中是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的一些对应值，则抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴是直线．
$x$
…
0
1
2
3
…
$y = a x^{2} + b x + c$
…
5
2
1
2
…

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11. 如图，直线 $M N$ 过 $▱ A B C D$ 的中心点 $O$ ，交 $A D$ 于点 $M$ ，交 $B C$ 于点 $N$ ，已知 $S_{▱ A B C D} = 4$ ，则S_阴影= ．

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到线段 $A D^{'}$ ，连接 $B D^{'}$ 、 $C D^{'}$ ．若 $△ D^{'} B C$ 是等腰三角形，则 $α =$ ．

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三、解答题

13.

(1)、解一元二次方程： $x^{2} + 20 x - 21 = 0$ ；

(2)、已知抛物线 $y = (x - 1) (x - 3)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点．求 $△ A B C$ 的面积．

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14. 如图，已知： $A (c ， d)$ ， $B (e ， f)$ ，连接 $A B$ ，将线段 $A B$ 绕原点旋转 $180 °$ 得到线段 $A^{'} B^{'}$ ．

(1)、已知经过 $A$ 、 $B$ 两点的直线是 $y = k x + m$ ，则经过 $A^{'}$ 、 $B'$ 两点的直线是 $y =$ （用含 $k$ 、 $m$ 式子表示）；

(2)、已知经过 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 三点的抛物线是 $y = a x^{2} + b x$ ，则经过 $O$ 、 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 三点的抛物线是 $y =$ （用含 $a$ 、 $b$ 式子表示）．

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15. 请仅用无刻度直尺按下列要求分别作图（保留作图痕迹，不要求与作法）．

(1)、如图1，线段 $A B$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ 得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，作出旋转中心点 $O$ ；

(2)、如图2，正方形 $A B C D$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ 得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 、作出旋转中心点 $O$ 并补全正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，已知：点 $A$ ，点 $B$ 在抛物线 $y = 2 x^{2}$ 上，点 $C$ ，点 $D$ 在 $x$ 轴上．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、连接 $B D$ 交抛物线于点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标．

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17. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + c$ ．

(1)、写出它的开口方向，对称轴；

(2)、若它与坐标轴有且只有两个交点，求 $c$ 的值．

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18. 如图，点 $O$ 为矩形 $A B C D$ 内部一点，过点 $O$ 作 $E F ∥ A D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，过点 $O$ 作 $G H ∥ A B$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $B C$ 于点 $H$ ，设 $C H = x$ ， $B H = 8 - 2 x$ ， $C F = x + 2$ ， $D F = 3 x - 3$ ．

(1)、矩形 $B C F E$ 的周长等于；

(2)、 $x$ 的取值范围是： ▲ $< x <$ ▲ ，若矩形 $A B C D$ 的面积为42，求 $x$ 的值；

(3)、求矩形 $O F C H$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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19. 已知：二次函数 $y = a (x - 1) (x - 2) + x$ ．

(1)、该二次函数一定经过的两个点的坐标为 $A$ ( ， )， $B$ ( ， )；

(2)、若不同于 $A$ 、 $B$ 的点 $P (m ， n)$ 也在该二次函数图象上，则以下判断正确的是．
① $m \neq n$ ；② $m \neq 1$ ；③ $m \neq 2$ （只要填写序号即可），并就其中一个正确的判断说明理由；

(3)、当 $△ P A B$ 是等腰直角三角形时，求 $a$ 的值．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α (0 ° < α < 60 °)$ ，将线段 $B C$ 就绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B D$ ．

(1)、如图1，直接写出 $∠ A B D$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、如图2， $∠ B C E = 150 °$ ， $∠ A B E = 60 °$ ，判断 $△ A B E$ 的形状并加以证明；

(3)、如图3，在（2）的条作下，连结 $D E$ ，写出 $D E$ 、 $C E$ 和 $B C$ 之间的等量关系．

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21.

(1)、【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排 $4$ 场比赛．
①共有场比赛；
②设比赛组织者应邀请 $x$ 个队参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛场，列方程：．

(2)、【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？

(3)、【综合运用】
将 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， ……， $A_{n}$ ，共 $n$ 个点每两个点连一条线段共得到 $y_{1}$ 条线段，将 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， ……， $B_{2 n}$ ．共 $2 n$ 个点每两个点连一条线段共得到 $y_{2}$ 条线段，问 $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 能否为整数？写出你的结论，并说明理由．

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$x$	…	0	1	2	3	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	5	2	1	2	…