四川省达州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图所示的几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 以下四组线段，成比例的是（）

A、 $2 c m ， 3 c m ， 4 c m ， 6 c m$ B、 $2 c m ， 4 c m ， 6 c m ， 8 c m$ C、 $3 c m ， 4 c m ， 5 c m ， 6 c m$ D、 $4 c m ， 6 c m ， 6 c m ， 8 c m$

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3. 一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两根为 $3$ 、 $4$ ，那么二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 可分解为（）

A、 $(x + 3) (x - 4)$ B、 $(x - 3) (x + 4)$ C、 $(x - 3) (x - 4)$ D、 $(x + 3) (x + 4)$

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4. 达州市经济开发区，今年七月份工业产值达30亿元，第三季度总产值为105亿元，八月、九月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意，可列方程为（）

A、 $30 {(1 + x)}^{2} = 105$ B、 $30 + 30 (1 + x) + 30 {(1 + x)}^{2} = 105$ C、 $30 (1 + x) + 30 {(1 + x)}^{2} = 105$ D、 $30 + 30 {(1 + x)}^{2} = 105$

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5. 已知关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (3 - x) + 1 < - x \\ x + a \geq 2 \end{array}$ 的解集为 $x > 5$ ，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y + 5}{y - 3} - 1 = \frac{4}{3 - y}$ 的解为正整数，则满足条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、 $- 3$ B、 $- 6$ C、 $- 8$ D、 $- 11$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 上一点，且 $F C = 2 B F$ ，连接 $A E$ ， $E F$ ， $A F$ .若 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，则 $△ A E F$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 用配方法解方程x²﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）

A、（x﹣4）²＝5 B、（x+4）²＝21 C、（x﹣4）²＝14 D、（x﹣4）²＝8

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8. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）

A、AB²＝AC²+BC² B、BC²＝AC•BA C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 $\frac{1}{3}$ ，点A，B，E在x轴上.若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）

A、（8，6） B、（9，6） C、 $(9 \frac{1}{2} ， 6)$ D、（10，6）

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10. 如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（）

A、4 $\sqrt{5}$ B、8 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $\frac{16}{3} \sqrt{5}$

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二、填空题

11. $- 202 1^{0} + \sqrt[3]{8} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ .

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12. “可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国“可燃冰”储存量达到1211亿吨，1211亿用科学记数法可表示为.

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13. 小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.6米，他的影长为2米，他同学的身高为1.4米，则此时他的同学的影长为米.

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14. 现有五张完全相同的不透明的卡片，其正面分别写有 $- 1$ ， 0，1， $- 5$ ， 6五个数.把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌上，小张先随机抽取一张卡片，其上的数字记为 $x$ ，小李再从剩下卡片中随机抽取一卡片，其上的数字记为 $y$ ，这样确定了点 $P (x ， y)$ ，则点 $P$ 在直线 $y = - x + 1$ 上的概率为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C > A B$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D = B A$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是 $A C$ 的中点，连接 $E F$ .若四边形 $D C F E$ 和 $△ B D E$ 的面积都为3，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点 $E$ ，连接 $D E$ ， $A E$ ， $C E$ ，过点 $D$ 作 $D E$ 的垂线交 $A E$ 于点 $P$ ，若 $D E = D P = 1$ ， $P C = \sqrt{6}$ .下列结论：① $△ A P D ≌ △ C E D$ ；② $A E ⊥ C E$ ；③点 $C$ 到直线 $D E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ；④S_正方形ABCD $= 5 + 2 \sqrt{3}$ .其中正确结论的序号为.

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $3 {(2 x - 1)}^{2} - 27 = 0$ ；

(2)、 $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{5}{x^{2} - 1} = 2$

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18. 先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，其中 $x$ 是满足不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + 1 \geq 1 \\ 2 (x - 1) \leq x \end{array}$ 的整数解之一.

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，按以下步骤作图：
①以点 $B$ 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边 $A B$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ；
②分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的相同长度为半径作弧，两弧交于点 $F$ ；
③作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ .

(1)、根据上述步骤补全作图过程（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、过点 $C$ 作 $C M ⊥ B C$ 交射线 $B F$ 于点 $M$ ， $A B = 8$ ， $B C = 10$ .补全图形，并求 $C M$ 的长.

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20. 达州市红色旅游景点众多，例如罗江镇张爱萍故居，宣汉县红军公园、王维舟纪念馆，万源战史陈列馆等等，为了解初三学生对达州历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各 $m$ 名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为 $A$ 组： $x < 18$ ， $B$ 组： $18 \leq x < 22$ ， $C$ 组： $22 \leq x < 26$ ， $D$ 组： $26 \leq x \leq 30$ ， $x$ 表示问卷测试的分数），其中男生得分处于 $C$ 组的有14人，男生 $C$ 组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25.
男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
男
20
$n$
22
女
20
23
20

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值，并补全条形统计图；

(2)、已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于 $C$ 组的人数；

(3)、据了解男生中有两名同学得满分，女生中分数最高的两名同学分别是30分和29分.现从这四名同学中随机抽取两名参加全校总决赛，用树状图或列表的方法求恰好抽到两名男生的概率是多少？

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21. 我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面 $M N$ 欣赏悬挂在墙壁 $P M$ 上的油画 $A D (P M ⊥ M N)$ 的示意图，设油画 $A D$ 与墙壁的夹角 $∠ P A D = a$ ，此时小然的眼睛与油画底部 $A$ 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置 $E$ 处，且与 $A D$ 垂直.已知油画的长度 $A D$ 为 $100 c m$ .

(1)、当小然到墙壁 $P M$ 的距离 $A B = 200 c m$ 时，求油画顶部点 $D$ 到墙壁 $P M$ 的距离；

(2)、在（1）的基础上当油画底部 $A$ 处位置不变，油画 $A D$ 与墙壁的夹角逐渐减小时则 $C D$ 变短，当 $C D$ 变为原来的 $\frac{4}{5}$ ，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他的位置是否发生变化，若不变说明理由；若变化，请你求出变化的方向和距离.

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22. 如图，一天早上，明明正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一5G信号接收塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷.经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，明明的眼睛距地面1.6m.当明明刚发现接收塔的顶部D被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼之间的距离为多少米？

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23. 达州某商家在国庆节期间举行了特产促销活动，已知灯影牛肉每听12元，万源黑鸡蛋每盒50元，第一次促销期间，共卖出灯影牛肉和万源黑鸡蛋共计2000盒.

(1)、若卖出灯影牛肉和万源黑鸡蛋的总销售额不低于54400元，则至少卖出万源黑鸡蛋多少盒？

(2)、第一次促销结束，为了回馈顾客，在第二次促销期间，灯影牛肉每听降价 $a (a > 0)$ 元，万源黑鸡蛋每盒降价 $5 a$ 元，灯影牛肉数量在（1）问最多的数量下增加 $130 a$ ，万源黑鸡蛋数量在（1）问最少的数量下增加 $80 a$ 盒，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元多 $95 a$ 元，求 $a$ 的值.

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24. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.

(1)、请根据上述结论解决问题：方程① $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ；方程② $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ；方程③ $x^{2} + x = - \frac{2}{9}$ .这几个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；

(2)、一般规律探究：我们知道，若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，请你根据以上关系探究：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是“倍根方程”，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足什么数量关系？

(3)、若 $(x - 1) (m x - n) = 0$ 是倍根方程，求 $\frac{2 n}{m}$ 的值.

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25. 模型探究：

(1)、如图1，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C B = C A$ ，直线 $E D$ 经过点 $C$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ E D$ 于点 $D$ ，过 $B$ 作 $B E ⊥ E D$ 于点 $E$ .求证： $B E = C D$ ；

(2)、已知直线 $l_{1} ： y = 2 x + 4$ 与坐标轴交于点 $A$ 、 $B$ ，将直线 $l_{1}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转90°至直线 $l_{2}$ ，如图2，求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(3)、如图3，已知点 $A$ 、 $B$ 在直线 $y = \frac{1}{2} x + 4$ 上，且 $A B = 4 \sqrt{2}$ .若直线与 $y$ 轴的交点为 $M$ ， $M$ 为 $A B$ 中点.试判断在 $x$ 轴上是否存在一点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形.

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组别	平均数	中位数	众数
男	20	$n$	22
女	20	23	20