浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2023届高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ， $B = {x | x \leq 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 3}$ D、 ${x ∣ x > 3}$

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2. 若复数 $z = \frac{1 - 7 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $| z | = 5$ B、复数 $z$ 在复平面上对应的点在第二象限 C、复数 $z$ 的实部与虚部之积为-12 D、 $\bar{z} = 3 + 4 i$

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3. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、-60 B、60 C、64 D、120

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4. 《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑.在鳖臑 $A B C D$ 中， $A B$ $⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = 1 ， B C = 2 ， C D = 3$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为（）

A、 $\frac{14 π}{3}$ B、7π C、13π D、14π

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5. 已知正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 4 = x + y$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{13} - 2$ B、2 C、 $2 + \sqrt{13}$ D、 $2 + \sqrt{14}$

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6. 已知点 $A (4 ， 0)$ 、 $B (0 ， 4)$ ，直线 $l ： x = \frac{25}{4}$ ，动点 $P$ 到点 $A$ 的距离和它到直线 $l$ 的距离之比为 $4 ： 5$ ，则 $| P B |$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{41}$ B、7 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1) + f (x - 1) = 2$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数，若 $f (0) = 0$ ， $\sum_{k = 1}^{n} f (k) = 111$ ，则 $n$ 的值为（）

A、107 B、118 C、109 D、110

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， 2 \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} ， 2 | \vec{c} - \vec{a} | = | \vec{c} - \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{c} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 夹角的最大值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、多选题

9. 盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（）

A、每次取到1号球的概率为 $\frac{1}{5}$ B、每次取到黑球的概率为 $\frac{2}{5}$ C、“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件 D、“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件

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10. 已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如： $[0.2] = 0$ ， $[- 1.2] = - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是增函数 B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (2 x)$ 的值域为 $[0 ， 1)$ D、 $f (2 x)$ 是偶函数

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11. 设抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $C$ 的准线与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则（）

A、线段 $A B$ 长度的最小值为4 B、若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $2$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $1$ C、 $∠ A M B > \frac{π}{2}$ D、 $∠ A M O = ∠ B M O$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x} ， g (x) = x e^{- x}$ ，若存在 $x_{1} \in (0 ， + \infty) ， x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = k$ 成立，则（）

A、当 $k > 0$ 时， $x_{1} + x_{2} > 1$ B、当 $k > 0$ 时， $x_{1} + e^{x_{2}} < 2 e$ C、当 $k < 0$ 时， $x_{1} + x_{2} < 1$ D、当 $k < 0$ 时， $\frac{x_{2}}{x_{1}} \cdot e^{k}$ 的最小值为 $- \frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 .

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14. 毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为 $1$ 的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第 $n$ 次生长得到的小正方形的个数为 $a_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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15. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，则直线 $A A_{1}$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 所成角的正弦值为.

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16. 设直线 $l ： (a + 2) x - (a - 1) y - 3 a - 3 = 0 (a \in R)$ 与圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，当 $△ A B C$ 面积的最大值为2时， $a$ 的值为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分別为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b (\sqrt{3} sin A - cos C) = (c - a) cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 $a = 5$ ， $c = 3$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的 ▲ ，求 $△ O A C$ 的面积.

注：如果选择多个条件分別解答，则按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1 ， \frac{a_{n}}{\sqrt{S_{n} S_{n - 1}}} = \frac{1}{\sqrt{S_{n - 1}}} + \frac{1}{\sqrt{S_{n}}}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ ）.

(1)、求证：数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、当 $n \in N^{*} ， n \geq 2$ 时，求证： $\frac{1}{a_{2}^{2} - 1} + \frac{1}{a_{3}^{2} - 1} + \dots + \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} < \frac{1}{4}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = 2 ， B D = 4 ， A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B D$ 是 $∠ A D C$ 的平分线，且 $B D ⊥ B C$ .

(1)、若点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点，证明： $B E$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、已知二面角 $P - A B - D$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，求平面 $P B D$ 和平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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20. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

	$A$ 大学	$B$ 大学	$C$ 大学	$D$ 大学
2020年毕业人数 $x$ （千人）	7	6	5	4
2022年考研人数 $y$ （千人）	0.5	0.4	0.3	0.2

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、已知

y

与

x

具有较强的线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.

（i）若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：

（ii）若 $A$ 大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分別为 $p$ 、 $3 p - 1$ ，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求 $p$ 的取值范围.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且点 $(3 ， \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、试问：在双曲线 $C$ 的右支上是否存在一点 $P$ ，使得过点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，直线 $A B$ 与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于点 $M ， N$ ，且 $S_{△ M O N} = \frac{\sqrt{3}}{33}$ ？若存在，求出点 $P$ ；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x ln x - x - \frac{1}{2} a x^{2} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{2}{e^{2}}$ 时，证明： $f (x) \leq 0$ ：

(2)、若函数 $H (x) = f (x) - (x - 1) e^{x} + a x^{2} + x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

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