广西南宁四十七中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共12小题，共36分。）

1. 下列图形分别是中国铁路、中国交建、中国航天、中国公路的标志，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知点 $P$ 的坐标是 $(- 6 ， 5)$ ，则 $P$ 点关于原点的对称点的坐标是（）

A、 $(- 6 ， - 5)$ B、 $(6 ， 5)$ C、 $(6 ， - 5)$ D、 $(5 ， - 6)$

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3. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（）

A、众数是17 B、众数是15 C、中位数是17 D、中位数是18

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4. 下列命题中，正确的个数是（）
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且 $∠ A F C = 90 °$ ，若 $B C = 14$ ， $A C = 10$ ，则DF的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = α$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转后得到 $△ D E C$ ，此时点 $E$ 在 $A B$ 边上，则旋转角的大小为（）

A、 $α$ B、 $2 α$ C、 $90 ° - α$ D、 $90 ° - 2 α$

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7. 如图： $D$ 为 $△ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ，若 $B D = 1$ ， $B C = 3$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A、12 B、9 C、13 D、12或9

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9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 二次函数 $y = {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ 的图象 $(1 \leq x \leq 3)$ 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（）

A、 $y \geq 1$ B、 $1 \leq y \leq 3$ C、 $\frac{3}{4} \leq y \leq 3$ D、 $0 \leq y \leq 3$

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11. 将4个数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ ，并规定 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c .$ 例如 $|\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix}| = 2 \times 3 - 4 \times 1 = 2$ ，则 $|\begin{matrix} x & 3 \\ x & x - 1 \end{matrix}| = - 3$ 的根的情况为（）

A、只有一个实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、没有实数根

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论： $① 2 a + b = 0$ ；②若 $m$ 为任意实数，则 $a + b \geq a m^{2} + b m$ ； $③ a - b + c > 0$ ； $④ 3 a + c < 0$ ； $⑤$ 若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2.$ 其中正确的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题（本大题共6小题，共12分）

13. 因式分解： $a^{3} - 4 a =$ ．

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14. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (k^{2} - 4) x + k - 1 = 0$ 的两实数根互为相反数，则 $k =$ ．

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15. 飞机着陆后滑行的距离 $s ($ 单位：米 $)$ 关于滑行的时间 $t ($ 单位：秒 $)$ 的函数解析式是 $s = 60 t - 1.5 t^{2}$ ，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米．

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16. 如图，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 与一次函数 $y_{2} = k x + m (k \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (8 ， 2)$ ，则使 $y_{1} > y_{2}$ 成立的x的取值范围是．

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17. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=6，BC=3．运动过程中点D到点O的最大距离是．

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18. 如图，点 $A_{1} (2 ， 2)$ 在直线 $y = x$ 上，过点作 $A_{1} B_{1} / / y$ 轴交直线 $y = \frac{1}{2} x$ 于点 $B_{1}$ ，以点 $A_{1}$ 为直角顶点， $A_{1} B_{1}$ 为直角边，在 $A_{1} B_{1}$ 的右侧作等腰直角 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，再过点 $C_{1}$ 作 $A_{2} B_{2} / / y$ 轴交直线 $y = x$ 和直线 $y = \frac{1}{2} x$ 于 $A_{2}$ ， $B_{2}$ 两点，再以点 $A_{2}$ 为直角顶点， $A_{2} B_{2}$ 为直角边在 $A_{2} B_{2}$ 的右侧作等腰直角 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $\dots$ ，按此规律进行下去，则等腰直角 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的边长 $B_{n} C_{n}$ 为 $. ($ 用含正整数 $n$ 的代数式表示 $)$

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三、计算题（本大题共2小题，共12分）

19. 计算： $\sqrt{4} + {(2 - π)}^{0} - | - 3 | + \sqrt[3]{- 8}$ ．

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20. 解方程： $x^{2} - 4 x - 2 = 0$

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四、解答题（本大题共6小题，共60分。）

21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ D A C$ 是 $△ A B C$ 的一个外角．

⑴作 $∠ D A C$ 的平分线 $A M$ ；

⑵作线段 $A C$ 的垂直平分线，与 $A M$ 交于点 $F$ ，与 $B C$ 边交于点 $E$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．

⑶判断四边形 $A E C F$ 的形状并加以证明．

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22. “聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿

者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况．从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间， $x$ 取整数）； $A . x \leq 60$ ； $B .60 < x \leq 70$ ； $C .70 < x \leq 80$ ； $D .80 < x \leq 90$ ，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：

七年级抽取20名同学的完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78﹐

78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88.

八年级抽取20名同学中完成作业时间在 $C$ 时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．

七，八年级抽取的同学完成作业时间统计表：

年级	平均数	中位数	众数
七年级	72	75	$b$
八年级	75	$a$	75

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：

a =

▲ ，

b =

▲ ，并补全统计图；

(2)、根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）

(3)、该校七年级有900人，八年级有700人，估计七，八年级时间管理优秀的共有多少人？

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23. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为 $t$ ，则另一个根为 $2 t$ ，因此 $a x^{2} + b x + c = a (x - t) (x - 2 t) = a x^{2} - 3 a t x + 2 t^{2} a$ ，所以有 $b^{2} - \frac{9}{2} a c = 0$ ；我们记“ $K = b^{2} - \frac{9}{2} a c$ ”即 $K = 0$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：

(1)、方程 $① x^{2} - x - 2 = 0$ ；方程 $② x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 这两个方程中，是倍根方程的是 $($ 填序号即可 $)$ ；

(2)、若 $(x - 2) (m x + n) = 0$ 是倍根方程，求 $4 m^{2} + 5 m n + n^{2}$ 的值；

(3)、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - \sqrt{m} x + \frac{2}{3} n = 0 (m \geq 0)$ 是倍根方程，且点 $A (m ， n)$ 在一次函数 $y = 3 x - 8$ 的图象上，求此倍根方程的表达式．

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24. 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

(1)、直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)、将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

(3)、该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．

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25. 在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $C D$ 上一点 $($ 点 $E$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合 $)$ ，连接 $B E$ ．
【感知】如图 $①$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B E$ 交 $B C$ 于点 $F .$ 易证 $△ A B F$ ≌ $△ B C E ($ 不需要证明 $)$ ．

【探究】如图 $②$ ，取 $B E$ 的中点 $M$ ，过点 $M$ 作 $F G ⊥ B E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $F G = B E$ ；

(2)、连接 $C M$ ，若 $C M = 1$ ，求 $F G$ 的长．
【应用】如图 $③$ ，取 $B E$ 的中点 $M$ ，连接 $C M$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ B E$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ 、 $M G .$ 若 $C M = 3$ ，求四边形 $G M C E$ 的面积．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，且 $A$ 点坐标为 $(- \sqrt{2} ， 0)$ ，直线 $B C$ 的解析式为 $y = - \frac{\sqrt{2}}{3} x + 2$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点 $A$ 作 $A D / / B C$ ，交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 为直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，连接 $C E$ ， $E B$ ， $B D$ ， $D C .$ 求四边形 $B E C D$ 面积的最大值及相应点 $E$ 的坐标；

(3)、将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 向左平移 $\sqrt{2}$ 个单位，已知点 $M$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 的对称轴上一动点，点 $N$ 为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $B E C D$ 的面积最大时，是否存在以 $A$ ， $E$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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