浙江省新高考研究2023届高三上学期数学8月测试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | y = \sqrt{x} + 2} ， B = {y | y = \sqrt{x} + 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 \leq x}$ C、 ${x | 2 \leq x}$ D、 $\emptyset$

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2. 若 $z + \bar{z} = 2$ ，则 $| z | + 2 \bar{z}$ 的实部可能是（）

A、3 B、1 C、 $3 i$ D、 $i$

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3. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧 $A D$ 长度是 $l_{1}$ ，弧 $B C$ 长度是 $l_{2}$ ，几何图形 $A B C D$ 面积为 $S_{1}$ ，扇形 $B O C$ 面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{l_{1}}{l_{2}} = 2$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y$ 交于 $A ､ B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆经过 $O$ ，则直线 $l$ 恒过（）

A、 $(0 ， \frac{p}{2})$ B、 $(0 ， p)$ C、 $(0 ， \frac{3 p}{2})$ D、 $(0 ， 2 p)$

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5. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 上是单调函数，则 $ω$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{28}{3}$

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6. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 外接球表面积为 $S$ ，体积为 $V ， P A ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = 4 ， ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，且 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \leq V$ ，则 $S$ 的取值范围是（）

A、 $10 π \leq S$ B、 $20 π \leq S$ C、 $10 \sqrt{3} π \leq S$ D、 $20 \sqrt{3} π \leq S$

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7. 互不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} \in {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， x_{i 1} ， x_{i 2} ， x_{i 3} ， x_{i 4}$ 是 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 的任意顺序排列，设随机变量 $X ， Y$ 满足： ${\begin{array}{l} X = m a x {m i n {x_{i 1} ， x_{i 2}} ， m i n {x_{i 3} ， x_{i 4}}} \\ Y = m i n {m a x {x_{i 1} ， x_{i 2}} ， m a x {x_{i 3} ， x_{i 4}}} \end{array} ，$ 则（）

A、 $E (X) < E (Y) ， D (X) > D (Y)$ B、 $E (X) > E (Y) ， D (X) > D (Y)$ C、 $E (X) < E (Y) ， D (X) = D (Y)$ D、 $E (X) > E (Y) ， D (X) = D (Y)$

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二、多选题

8. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ， $P$ 是线段 $B C$ 上的动点，则（）

A、 $2 | \vec{A P} | \geq \sqrt{3} | \vec{A B} |$ B、 $2 | \vec{A P} | \geq | \vec{A B} |$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \geq \vec{A P} \cdot \vec{A C}$ D、 $\vec{A B} \cdot \vec{A P} \geq \vec{A C} \cdot \vec{A P}$

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9. 有一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，由这组样本数据等到新的样本数据 $y_{1} ， y_{2} ， ⋯$ ， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = a x_{i} + b (a ､ b \neq 0)$ ，则（）

A、两组数据的样本极差的差值与 $a$ 有关，与 $b$ 无关 B、两组数据的样本方差的差值与 $a$ 有关，与 $b$ 有关 C、两组数据的样本平均数的差值与 $a$ 有关，与 $b$ 无关 D、两组数据的样本中位数的差值与 $a$ 有关，与 $b$ 有关

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10. 已知 $λ_{1} = x^{2} + y^{2} ， λ_{2} = \sqrt{3} x y (x ， y \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $(\sqrt{3} λ_{1} - 2 λ_{2}) (\sqrt{3} λ_{1} + 2 λ_{2}) \leq 0$ B、 $\frac{λ_{1} + λ_{2}}{λ_{1} - λ_{2}} \leq 7 + 4 \sqrt{3}$ C、 $λ_{1} - λ_{2} \geq 0$ D、 $2 \sqrt{λ_{1} + λ_{2}} - | x | \geq 0$

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11. 已知正四面体 $P - A B C ， D$ 是棱 $P C$ 上的动点， $E$ 是 $P$ 在平面 $A B C$ 上的投影，下列说法正确的是（）

A、当 $3 \vec{P D} = \vec{P C}$ 时， $D E$ $∥$ 平面 $P A B$ B、当 $3 \vec{P D} = \vec{P C}$ 时，异面直线 $D E$ 与PA所成角是 $\frac{π}{3}$ C、当 $3 \vec{P D} = 2 \vec{P C}$ 时，DE的长度最小 D、当 $3 \vec{P D} = 2 \vec{P C}$ 时，直线 $D E$ 与 $A E$ 所成角正弦值是 $\frac{\sqrt{35}}{6}$

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12. 已知函数 $f (x + 1) = {\begin{array}{l} f (x) + s i n f (x) ， f (x) \leq f (x - 1) \\ f (x) + c o s f (x) ， f (x) > f (x - 1) \end{array} (x \geq 2$ 且 $x \in N^{*})$ 且 $0 < f (1) < f (2) < π$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (5) < f (4)$ B、若 $f (2) < \frac{π}{2}$ ，则 $f (2023) < π$ C、若 $\frac{π}{2} < f (2) ， f (x)$ 是单调增函数 D、若 $\frac{π}{2} < f (2)$ ，则 $f (2 k) < π$

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三、填空题

13. 多项式 $x^{2} + x^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + ⋯ + a_{7} (x + 1)^{7} + a_{8} (x + 1)^{8}$ ，则 $a_{3} =$ .

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14. 曲线 $y = s i n (a x + \frac{π}{3})$ 在 $x = 0$ 处的切线斜率是1，则 $a =$ .

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，A，B分别在双曲线的左右两支上，且满足 $\vec{A B} = λ \vec{F_{1} A}$ （ $λ$ 为常数），点C在x轴上， $\vec{C B} = 3 \vec{F_{2} A}$ ， $\frac{\vec{B F_{2}} \cdot \vec{B F_{1}}}{| \vec{B F_{1}} |} = \frac{\vec{B F_{2}} \cdot \vec{B C}}{| \vec{B C} |}$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率为．

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16. 已知过P $(3 ， 0)$ 的直线与圆C： $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 交于A，B两点，（A点在 $x$ 轴上方），若 $| B P | = 3 | P A |$ ，则直线 $A B$ 到与其斜率相同的圆的切线距离是， .

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四、解答题

17. 2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.

(1)、估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

(2)、估计奶茶爱好者年龄位于区间 $[20 ， 60)$ 的概率；

(3)、已知奶茶爱好者喜欢浙江奶茶品牌“古茗”的概率为21%，该地区奶茶爱好者年龄位于区间 $[10 ， 20)$ 的人口数占该地区奶茶爱好者总人口数的35%，从该地区选出1名奶茶爱好者，若此人的年龄位于区间 $[10 ， 20)$ ，求此人喜欢古茗的概率.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{10} ， n a_{n} = 5 (n + 2) a_{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (n^{2} + 5 n + 5) a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .
在① $\frac{11}{10} \leq T_{n}$ ， ② $T_{n} < \frac{5}{4} - \frac{1}{5^{n} (n + 1)}$ 中任意选择一个，补充在横线上并证明.选择________-.

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19. 记 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{t a n B}{2 t a n B - t a n A} = \frac{t a n C}{t a n A}$ .

(1)、求证： $b^{2} + c^{2} = 2 a^{2}$ ；

(2)、求 $\frac{a b}{c^{2}}$ 的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $C D = 2 A B = 2 B C = 2 A D = 4$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D ， E$ 是 $P C$ 的中点，且 $△ A D P$ 为等边三角形，平面 $A D P ∩$ 平面 $P B C = m$ .

(1)、设 $m ∩$ 直线 $B C = M$ ，求点 $M$ 到平面PDC的距离；

(2)、求二面角 $P - B E - D$ 的正弦值.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2} ， △ A B C$ 为椭圆 $C$ 的任意内接三角形，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的外心.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记直线 $A B ､ B C ､ C A ､ O D$ 的斜率分别为 $k_{1} ､ k_{2} ､ k_{3} ､ k_{4}$ ，且斜率均存在.求证： $4 k_{1} k_{2} k_{3} k_{4} = 3$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a x} - b$ 和 $g (x) = \frac{a x}{l n x} - b$ 有相同的极小值.

(1)、求 $a$ ；

(2)、证明：若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 共有四个不同的零点，记为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3} ､ x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} x_{4} = x_{2} x_{3}$ .

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