浙江省七彩阳光新高考研究联盟2022-2023学年高三上学期数学返校联考试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x ∣ x^{2} < 1} ， N = {x ∣ \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x ∣ \frac{1}{2} < x < 1}$ B、 ${x ∣ \frac{1}{4} \leq x < 1}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 1}$ D、 ${x ∣ \frac{\sqrt{2}}{2} \leq x < 1}$

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2. $i$ 为虚数单位，若 $(3 - 4 i) z = 25$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、6 B、8 C、2 D、4

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3. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为（）

A、0.78 B、0.8 C、0.82 D、0.84

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4. 某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价.
高峰时间段用电价格表：
高峰月用电量（单位：千瓦时）
高峰电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表：
低谷月用电量（单位：千瓦时）
低谷电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（）元

A、200.7 B、207.7 C、190.7 D、197.7

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5. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $\vec{A E} = \vec{a} ， \vec{A F} = \vec{b} ， \vec{A D} = \vec{c}$ ，则 ${\vec{A A}}_{1} =$ （）

A、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \vec{b} - \frac{4}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{4}{3} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} - \frac{4}{3} \vec{c}$

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6. 已知函数 $f (x) = a s i n (a x) ， a > 0 ， f (x)$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后的图象与原函数图象重合， $f (x)$ 的极大值与极小值的差小于15，则 $a$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7. 设 $a = \frac{2}{21} ， b = l n \frac{25}{21} ， c = s i n \frac{2}{21}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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8. 已知半径为1的球面上有 $A ， B ， C ， D$ 四个点， $A B = C D = 1$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、多选题

9. 在二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，正确的说法是（）

A、常数项是第3项 B、各项的系数和是1 C、偶数项的二项式系数和为32 D、第4项的二项式系数最大

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10. 已知函数 $g (x) = x l n x ， f (x) = \frac{l n (x + 1)}{l n x}$ ，则（）

A、 $g (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 C、 $\frac{l n π}{e} < \frac{1}{π}$ D、 $l o g_{2} 3 > l o g_{3} 4$

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11. 已知常数 $p > 0$ ，直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点（异于坐标原点 $O$ ），且 $O A ⊥ O B$ ， $O D ⊥ A B ， O D$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2 p ， 0)$ B、线段 $A B$ 长度的最小值为 $2 p$ C、 $D$ 点的轨迹是圆弧 D、线段 $O D$ 长度的最大值为 $\sqrt{3} p$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为 $2 ， R ， E ， F$ 分别是 $A B ， A_{1} D_{1} ， C C_{1}$ 的中点，连接 $R E ， E F ， R F$ ，记 $R ， E ， F$ 所在的平面为 $α$ ，则（）

A、 $α$ 与正方体的棱有6个交点 B、 $B_{1} D ⊥ α$ C、 $α$ 截正方体所得的截面面积为 $3 \sqrt{3}$ D、 $D D_{1}$ 与 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 写出一个满足条件：“ $\forall x_{1} ， x_{2} \in R ， | f (x_{1}) - f (x_{2}) | \geq | x_{1} - x_{2} |$ ”的一次函数 $f (x)$ 的表达式.

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14. 两个线性相关变量 $x$ 与 $y$ 的统计数据如表：
$x$
0
0.5
1
1.5
2
$y$
6
5
3
1
0
其经验回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则 $\hat{b} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 4$ ，若 $f (a) = 7 ， f (b) = 15$ ，则 $a + b =$ .

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16. 已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 与直线 $l ： y = k x + m (k \neq \pm 1)$ 有唯一的公共点 $A$ ，过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴､ $y$ 轴于 $B (x_{0} ， 0) ， C (0 ， y_{0})$ 两点，当点 $A$ 运动时，点 $D (x_{0} ， y_{0})$ 的轨迹方程是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 1$ ，且 $(1 + b) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ ．

(1)、求A；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 在三棱锥 $V - A B C$ 中， $V A ⊥ V C ， V B ⊥ V C ， O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，连接 $V O$ .

(1)、证明： $V O ⊥ A B$ ；

(2)、若平面 $V O C$ 把三棱锥 $V - A B C$ 分成体积相等的两部分， $V B$ 与平面 $V O C$ 所成角的 $3 0^{∘} ， V C = V B = 2$ ，求平面 $V A C$ 与平面 $V B C$ 所成角的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，对于任意的正自然数 $n ， a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{3 a_{n} + 1}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 为等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} < 100$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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20. 在运动会上，甲､乙､丙参加跳高比赛，比赛成绩达到2.28米及以上将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了三位选手以往的比赛成绩，数据如下（单位：米）
甲：2.31，2.30，2.27，2.25，2.19，2.16，2.15，2.13，2.12，2.09 ，
乙：2.33，2.29，2.28，2.26，2.24，2.22
丙：2.37，2.32，2.08，2.10 ，
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩相互独立

(1)、求甲在比赛中获得优秀奖的概率；

(2)、设 $X$ 是甲､乙､丙在比赛中获得优秀奖的总人数，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、甲､乙､丙在比赛中，谁获得冠军的可能性最大？

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21. 已知函数 $f (x) = (2 x - a) l n x - x + a$ ( $a$ 为实数).

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $f (x)$ 有两个零点时，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且以长轴和短轴为对角线的四边形面积为 $4 b^{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ$ ，在椭圆 $C_{1}$ 上任取三点 $B ， C ， D$ ，是否存在 $λ$ 使得 $△ B C D$ 与椭圆 $C$ 相切于三角形三边的中点，若存在，求出 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由.

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高峰月用电量（单位：千瓦时）	高峰电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分	0.568
超过50至200的部分	0.598
超过200的部分	0.668

低谷月用电量（单位：千瓦时）	低谷电价（单位：元/千瓦时）
50及以下的部分	0.288
超过50至200的部分	0.318
超过200的部分	0.388

$x$	0	0.5	1	1.5	2
$y$	6	5	3	1	0