浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期数学适应性联合考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ， $a \in A ∩ B$ ，则 $a$ 的值可以是（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{13}$ 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧 $A D$ 长度是 $l_{1}$ ，弧 $B C$ 长度是 $l_{2}$ ，几何图形 $A B C D$ 面积为 $S_{1}$ ，扇形 $B O C$ 面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{l_{1}}{l_{2}} = 2$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知复数z满足 $z \cdot \bar{z} + 4 i \bar{z} = 5 + a i$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， 4]$ B、 $[- 6 ， 6]$ C、 $[- 8 ， 8]$ D、 $[- 12 ， 12]$

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5. 若 $A B = 2 ， A C = \sqrt{2} B C$ ，则 $S_{△ A B C}$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{13}{18}$

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，经过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ ， $B$ ， $△ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ ，若 $3 \vec{I B} + 4 \vec{I A} + 5 \vec{I F_{2}} = \vec{0}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足递推关系 $e^{a_{n}} - 1 = a_{n} e^{a_{n + 1}}$ ，且 $a_{1} > 0$ ，若存在等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} \leq a_{n} \leq b_{n}$ ，则 ${b_{n}}$ 公比 $q$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{π}$

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二、多选题

9. 同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（）

A、 $P (A B) = P (A C) = P (B C)$ B、 $P (A | B) = P (A | C) = \frac{1}{2}$ C、 $P (A B C) = \frac{1}{8}$ D、 $P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{4}$

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10. 定义在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数 $f (x)$ ， $f^{^{'}} (x)$ 是它的导函数，且恒有 $f (x) > f^{'} (x) t a n x$ 成立，则下列正确的是（）

A、 $\sqrt{3} f (\frac{π}{4}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{3})$ B、 $f (1) > 2 f (\frac{π}{6}) s i n 1$ C、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{6}) > f (\frac{π}{4})$ D、 $\sqrt{3} f (\frac{π}{6}) > f (\frac{π}{3})$

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上的四点 $A (2 ， 2)$ ， B，C，P，直线AB，AC是圆 $M ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，直线PQ、PR与圆M分别切于点Q、R，则下列说法正确的有（）

A、当劣弧QR的弧长最短时， $\cos ∠ Q P R = - \frac{1}{3}$ B、当劣弧QR的弧长最短时， $\cos ∠ Q P R = \frac{1}{3}$ C、直线BC的方程为 $x + 2 y + 1 = 0$ D、直线BC的方程为 $3 x + 6 y + 4 = 0$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = θ$ ， $A B \subset α$ ，设点 $C$ 在 $α$ 上的射影为 $C^{'}$ ，将 $△ A B C$ 绕边 $A B$ 任意转动，则有（）

A、若 $θ$ 为锐角，则在转动过程中存在位置使 $∠ B C^{'} A = 2 ∠ B C A$ B、若 $θ$ 为直角，则在转动过程中存在位置使 $\begin{matrix} ∠ B C^{'} A = \frac{1}{2} ∠ B C A \end{matrix}$ C、若 $θ = 10 5^{∘}$ ，则在转动过程中存在位置使 $∠ B C^{'} A > ∠ B C A$ D、若 $θ = 12 0^{∘}$ ，则在转动过程中存在位置使 $∠ B C^{'} A > ∠ B C A$

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三、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{8}$ 的展开式中的常数项为．

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心，过点 $A$ 的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于位于第一象限的点 $P$ ，若直线 $P F$ 的斜率为 $- 3$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为．

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15. 以 $A B C$ 为底的两个正三棱锥 $P - A B C$ 和 $Q - A B C$ 内接于同一个球，并且正三棱锥 $P - A B C$ 的侧面与底面 $A B C$ 所成的角为45°，记正三棱锥 $P - A B C$ 和正三棱锥 $Q - A B C$ 的体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$

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16. 设函数 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的偶函数，且 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，则函数 $g (x) = | c o s π x | - f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ 上所有零点之和为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + \sqrt{3} s i n x \cdot c o s x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间［0， $\frac{π}{2}$ ］上的最值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{3 - (- 1)^{n}}{2} a_{n} + \frac{1 + (- 1)^{n}}{2}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $C D = 2 A B = 2 B C = 2 A D = 4$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D ， E$ 是 $P C$ 的中点，且 $△ A D P$ 为等边三角形，平面 $A D P ∩$ 平面 $P B C = m$ .

(1)、设 $m ∩$ 直线 $B C = M$ ，求点 $M$ 到平面PDC的距离；

(2)、求二面角 $P - B E - D$ 的正弦值.

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20. 为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量X
[2.55.5）
[5.5，8.5）
[8.5，115）
[115，14.5）
[14.5.175）
[175，20.5）
[20.523.5）
频数
5
6
9
12
8
6
4
（参考数据：若X~ $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .）

(1)、假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均值 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算得 $\bar{x} \approx 12.8$ ， $s \approx 5.2$ .试估计这320家企业中“超标”企业的家数；

(2)、通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.

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21. 抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l ，$ A为C上的一点，已知以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B ， D$ 两点，

(1)、若 $∠ B F D = 9 0^{∘} ， △ A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程

(2)、若直线 $y = k x + b$ 与抛物线C交于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，准线 $l$ 与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求 $| F T |$ |的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明 $f (x) > 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且对任意满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 的 $x_{1} ， x_{2}$ ，都有 $x_{1} + x_{2} > 2 x_{0}$ ，求a的取值范围．

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硫排放量X	[2.55.5）	[5.5，8.5）	[8.5，115）	[115，14.5）	[14.5.175）	[175，20.5）	[20.523.5）
频数	5	6	9	12	8	6	4